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2006年高考数学试题分类汇编高中数学各章节编拟和引入应用问题的研究 ?数学“应用问题”源于实际．它具有社会、科技、经济、生活等实际背景，所用到的数学基础知识符合教学大纲的要求，是学生经过努力能够解决的一种问题．这种问题比较贴近学生的生活，溶科学性、思想性、典型性、趣味性于一体，能提高学生学习数学的兴趣，促进他们形成科学解题的思想方法．但我们现行教材存在着忽视应用的缺点，教材中现有的应用题数量较少，内容陈旧，背景材料简单，基本上与现实生活无关，不能体现数学在现代生活诸方面的广泛应用，给应用问题的教学带来了实际困难，教师只得在高三数学总复习中对应用问题进行强化训练，结果是事倍功半，未从根本上形成数学应用的能力．在高考数学试卷中已经连续8年考查了应用问题，1993年和1994年是以选择题和填空题的形式出现的，1995年——2000年均以解答题的形式出现。而从这几年高考应用问题得分统计来看，虽应用问题在考题中只相当于中档试题，但考生完成得不好，得分率低，这和我们的教材内容和课内训练不够密切相关。 怎样才能使应用问题的教学步入正确的轨道，切实培养和提高学生应用数学的能力和意识呢?我们根据日常的教学内容，作了各章节选编和引入应用问题教学的研究尝试。 一．???? 选编应用问题 ?1．以教材为来源 ?在现行高中教材中．每章都有内容、习题涉及到数学的应用：《代数》上册(必修本)中：水池(渠)、寄信邮资、细胞分裂、弹簧振动、钢板下料、飞机机冀曲边等应用问题．《代数》下册(必修本)中：利用不等式求实际问题最值、堆放钢管(铅笔)、升价降价、增长率问题，浓度问题，排列组合问题等等．《立体几何》中，也有大量插图或以此作为背景的许多联系实际的问题．《解析几何》中，拱桥、天体运行轨道、平抛运动、双曲线通风塔、探照灯反射面、弹道曲线等等． ?虽然这些问题大多比较简单，但它们仍然为将实际问题‘数学化”提供了丰富的材料和最基本的实例．不管对学生或教师都起着抛砖引玉的作用。应予以充分重视，切莫贪多求全、求深，忽视教材中最基本的应用问题。忽视实例引入．应充分挖掘现行教材中有关实际应用问题的潜力，从中体味其中所用数学知识、方法和思想，使学生在头脑中储存一定数量的“基本模式”，只有这样，搞好应用题的教学才有保证． （1）以新换旧 ??? 数学教材中原有的一些应用题从内容看显得有些陈旧，但如能换上恰当的带有时代气息的实际内容，就能使它们成为以新面貌出现的“应用问题”，从而对学生产生现实的智育和德育作用． ?例1 ?墙壁上所挂画幅的高AB＝5尺，画幅的底边离地面8尺．身高为5．5尺的人看画时离墙壁多远才能看得最清楚? ???这是以往数学教材和课外读物上出现过的所谓“看画问题”．它对训练学生的分析、解题能力有一定作用．我们对这道“旧题”赋以新的内容，改编成下题： ? 仪表和工业电视是现代企业的眼睛，发电厂主控室值班员主要是根据仪表的数据变化来加以操作的．若仪表的高AB＝m米，仪表的底边离地面的距离为BC=n米(如图)，值班员坐在椅子上时眼睛离地面的高度DE＝1．2米，那么值班员坐在什么位置看仪表最清楚? ??? “旧题”经这样改编后，就具有了现实意义．在现代企业生产的情境下，让学生应用相应的数学知识和解题方法，以值班员的视角 ADB最大为目标，求出EC＝ 米．这样的题目对学生来说显得新鲜，更具有实用性和启发性，其教育价值也就更大． （2）推陈出新 数学教材中有一些历年使用过的带有代表性的应用题，虽是“陈题”，但根据当今数学教学的要求发展其内涵，就能使它们体现出新的“应用问题”的教育价值． 例2从一块边长为a厘米的正方形铁片的四个角处各截去一个小正方形(如图①)，把剩下的部分做成一个正四棱柱形无盖盒子．当盒子底边长为多少时它的容积最大?最大值是多少? ??? ??? ???? 这是多年来出现于数学教材中的一道求极值的传统应用题．我们从两方面考虑改编这一“陈题”，获得两道新题： ??? (1) 将原题中的“正方形”改为“矩形”(设其长为a厘米，宽为b厘米，且a＞b)，从它的四个角处各截去一个小正方形(如图②)，把剩下的部分做成一个长方体无盖盒子．当截去的小正方形边长为多少时它的容积最大?最大值是多少? ?? ?(2) 将原题中的“正方形”改为“正6边形”(设其边长为a厘米)，从它的6个角处各截去一个小四边形(如图(3))，把剩下的部分做成一个正六棱柱形无盖盒子．当盒子底边为多少时它的容积最大?最大值是多少? ?这里将“陈题”条件中的“正方形”在边数不变时改为矩形，或在边长不变时改为正6边形(一般地，可改为正n边形，n＞4)，就起到了推陈出新的作用．改编后所得的“应用问题”在对学生训练思维、培养能力方面比原题的教育价值更大． (3) 借题发挥 ??? 数学教材中