二项式定理(教案)绪论.doc

题目 第十章排列、组台、二项式定理 1正确理解二项式定理，能准确地写出二项式的展开式 2会区分项的系数与项的二项式系数 3掌握二项式定理在近似计算及证明整除性中的应用 4 熟练掌握二项式定理的基本问题――通项公式及其应用 知识点归纳 1．二项式定理及其特例： （1）， （2） 2．二项展开式的通项公式： 3．常数求常数的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 4二项式系数表（杨辉三角） 展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 5．二项式系数的性质： 展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数，定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（）． 直线是图象的对称轴 （2）增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值 （3）各二项式系数和： ∵， 令，则 题型讲解 例1 如果在（+）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项 解：展开式中前三项的系数分别为1，，， 由题意得2×=1+，得n=8 设第r+1项为有理项，T=C··x，则r是4的倍数， 所以r=0，4，8 有理项为T1=x4，T5=x，T9= 点评：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r 例2 求式子（｜x｜+－2）3的展开式中的常数项 解法一：（｜x｜+－2）3=（｜x｜+－2）（｜x｜+－2）（｜x｜+－2）得到常数项的情况有： ①三个括号中全取－2，得（－2）3； ②一个括号取｜x｜，一个括号取，一个括号取－2，得CC（－2）=－12， ∴常数项为（－2）3+（－12）=－20 解法二：（|x|+－2）3=（－）6 设第r+1项为常数项， 则T=C·（－1）r·（）r·|x|=（－1）6·C·|x|， 得6－2r=0，r=3 ∴T3+1=（－1）3·C=－20 例3 ⑴求（1+x+x2+x3）（1－x）7的展开式中x4的系数； ⑵求（x+－4）4的展开式中的常数项； ⑶求（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）50的展开式中x3的系数 解：⑴原式=（1－x）7=（1－x4）（1－x）6，展开式中x4的系数为（－1）4C－1=14 ⑵（x+－4）4==，展开式中的常数项为C·（－1）4=1120 ⑶方法一：原式== 展开式中x3的系数为C 方法二：原展开式中x3的系数为 C+C+C+…+C=C+C+…+C=C+C+…+C=…=C 点评：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键 例4 求展开式中的系数 解： 令 点评：①是展开式中的第项， ②注意二项式系数与某项系数的区别在本题中，第4项的二项式系数是，第4项的系数为，二者并不相同 例5 求展开所得的多项式中，系数为有理数的项数 解： 依题意：，为3和2的倍数，即为6的倍数， 又，，，构成首项为0，公差为6，末项为96的等差数列，由得， 故系数为有理数的项共有17项 点评：有理项的求法：解不定方程，注意整除性的解法特征 例6 求展开式中的系数 解法一： 故展开式中含的项为 故展开式中的系数为240 解法二： 要使指数为1，只有才有可能， 即 故的系数为 解法三： 由多项式的乘法法则，从以上5个括号中，一个括号内出现，其它四个括号出现常数项，则积为的一次项，此时系数为 点评：此类问题通常有两个解法：化三项为二项，乘法法则及排列、组合知识的综合应用 例7 设an=1+q+q2+…+q（n∈N*，q≠±1），An=Ca1+Ca2+…+Can （1）用q和n表示An； （2）（理）当－3q1时，求 解：（1）因为q≠1， 所以an=1+q+q2+…+q= 于是An= C+ C+…+C =［（C+C+…+C）－（Cq+Cq2+…+Cqn）］ ={（2n－1）－［（1+q）n－1］} =［2n－（1+q）n］ （2）=［1－（）n］因为－3q1，且q≠－1， 所以0| |1 所以= 例8 已知，求 分析：在已知等式的左边隐含一个二项式，设法先求出n 解：在中 令得　　 点评：①记住课本结论： 　 ②注意所求式中缺少一项，不能直接等于 例9已知，求 解： 令时，有 令时，有 ∵ ∴ 点评：赋值法是由一般到特殊的一种处理方法，在高考题中屡见不鲜，特别在二项式定理中的应用尤为明显赋值法是给代数式（或方程或函数表达式）中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的望同学们在学习中举一反三 例10 求展开式中系数最大的项 解：设第项系数最大，则有，即 又 故系数最大项为 点评：二项式系数最大的项与系数最大的项不同