二项式定理讲义绪论.doc

定义： 　，这一公式表示的定理叫做二项式定理，其中公式右边的多项式叫做的二项展开式；上述二项展开式中各项的系数 叫做二项式系数，第项叫做二项展开式的通项，用表示；叫做二项展开式的通项公式． 二项展开式的特点与功能 二项展开式的特点项数：二项展开式共（二项式的指数+1）项； 指数：二项展开式各项的第一字母依次降幂（其幂指数等于相应二项式系数的下标与上标的差），第二字母依次升幂（其幂指数等于二项式系数的上标），并且每一项中两个字母的系数之和均等于二项式的指数；系数：各项的二项式系数下标等于二项式指数；上标等于该项的项数减去1（或等于第二字母的幂指数； 二项展开式的功能 注意到二项展开式的各项均含有不同的组合数，若赋予a，b不同的取值，则二项式展开式演变成一个组合恒等式．因此，揭示二项式定理的恒等式为组合恒等式的“母函数”，它是解决组合多项式问题的原始依据． 又注意到在的二项展开式中，若将各项中组合数以外的因子视为这一组合数的系数，则易见展开式中各组合数的系数依次成等比数列．因此，解决组合数的系数依次成等比数列的求值或证明问题，二项式公式也是不可或缺的理论依据． 二项式系数的性质 对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等． 单调性：二项式系数（数列）在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间（项）取得最大值．其中，当为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数, 相等，且最大． 组合总数公式： 　即二项展开式中各项的二项式系数之和等于． “一分为二”的考察：二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即． 二项式定理及其展开式 求的展开式． 【解析】 = =+5+10x+10+5+ 0．9915的近似值（精确到0001）是?? 【解析】0．9915=(1-0．009)5=1-5×0．009+10×(0009)2 … ≈1-0.045+0．00081≈0956　 求证：（1） 能被 整除； 【证明】为利用二项式定理，对 中的底数n变形为两数之和（或差）．　 　 ，且， 　 　于是有 　　() 注意到 ，且 ，故　 因此由()式知 能被 整除； 二项式系数 在的展开式中的系数是（　　 ）　　A． –14　　　　　　 B． 14　　　　 C． –28　　　　　　 D． 28 【分析】对于多项展开式中某一项的总数的寻求，“化整为零”为基本方法之一，= ，又的展开式中的系数为，的系数为．  原展开式中的系数为，应选B． 设则的展开式中的系数不可能是（　　 ） 　　A． 10　　　B． 40　　 　C． 50　　　　D． 80 【分析】立足于二项展开式的通项公式： 　　 当k=1时，r=4，的系数为； 　　当k=2时，r=3，的系数为； 　　当k=3时，r=2，的系数为； 　　当k=4时，r=1，的系数为． 　　 综上可知应选C． 【点评】关于二项展开式中某一项的问题，一般要利用二项展开式的通项公式． 在的展开式中，的项的系数为（　　 ） A． 74　　　　 B． 121　　　　 C． –74　　　　 D． –121 【分析】考虑求和转化，原式 　　又的展开式中系数为 的展开式中系数为 　　 原展开式中项的系数为，应选D． 已知 的展开式中奇数项的二项式系数之和等于512，试求： 　　（1）二项式系数最大的项；　　（2）系数的绝对值最大的项；　　（3）系数最大的项． 【解析】由题意得  ∴二项展开式的通项公式为 　　 （1）， 二项展开式共11项 二项展开式的中间一项即第六项的二项式系数最大 又 所求二项式系数最大的项为 （2）设第r+1项系数的绝对值最大， 　则有 解之得，注意到，故得r=3 第4项系数的绝对值最大 　 所求系数绝对值最大的项为 （3）由通项公式的特征可知，系数最大的项应在项数为奇数的项内，即在取偶数的各项内 又取偶数0，2，4，6，8，10时，相应的各项系数分别为,,,,,． 　　即分别为1， ， ， ，, 　　由此可知，系数最大的项为第5项(r=4)，即 点评： 　　（1）解决二项式问题要注意区分两种系数：一种是某一项的系数，按通常的多项式系数去理解、认定；一种是某项的二项式系数，仅指这一项中所含的那个组合数．二者在特殊情况下方为同一数值． （2）这里展开式中系数绝对值最大的项，实际上是 展开式中系数最大的项，必要时可适时转化． （3）本题解法“一题两制”：对于（2），我们运用一般方法进行推导；对于（3），我们运用认知、列举、