二重积分的计算方法绪论.ppt

第一章 行列式 http://mooker.80.hk * 第二节 二重积分的计算法 计算二重积分的方法: 二重积分 累次积分(即两次定积分). * 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D， 故二重积分可写为 D 则面积元素为 一、利用直角坐标系计算二重积分 * (2)如果积分区域为： 其中函数 、 在区间 上连续. ［X－型］ * 回忆：平行截面面积为已知的立体的体积 立体体积 此方法关键是求 * 计算截面面积 ( 红色部分即A(x0) ) ＊ 以D为底, 以曲面 为顶的曲顶柱体的体积. 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法. 用二重积分的几何意义说明其计算法: 是区间 为曲边的曲边梯形. 为底, 曲线 * A(x0) 先对y后对x的二次积分(累次积分) * (2) 积分区域为： 先对x后对y的二次积分 也即 其中函数 在区间 上连续. ［Y－型］ * 1.当D既不是X-型区域也不是Y-型区域时,将D分成几部分，使每部分是X-型区域或是Y-型区域. 2.当D既是X-型区域也是Y-型区域时,可以用两个公式进行计算. Ⅰ Ⅱ Ⅲ y x 0 y x 0 c d a b D * 特殊地 即等于两个定积分的乘积. D为矩形域: 则 则 a≤x≤b,c≤y≤d * 二重积分是化为两次定积分来计算的，关键是确定积分限. 定限要注意的问题： 1.上限下限. 2.内层积分的上，下限应为外层积分变量的函数. 3.外层积分上，下限应为常数(后积先定限). 4.二重积分的结果应为常数. * 例 计算 其中D是由直线y=1,x=2及y=x所围成的闭区域. 解法1： 先y后x · · x y x 0 1 2 y=x y=1 x=2 * 解法2： 先x后y y x 0 1 2 y=x x=2 · · y * 解 例 计算 (1,1) * 选取积分次序, 不仅要看区域的特点, 而且要看被积函数的特点. 凡遇如下形式积分: 等等, 一定要放在 后面积分. * 解 积分区域如图 例 改变积分 的次序. * 例 交换积分次序： 解 原式= * 例 交换积分次序： 解 积分区域: 原式= * 例 求证 左边的累次积分中, 提示 不能直接计算， 是y的抽象函数, 证毕. 要先交换积分次序. 证明 * 例 求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程分别为 及 解 求所围成的 立体的体积. * 解 曲面围成的立体如图. 例 求由下列曲面所围成的立体体积， * * 例 解 * 补充轮换对称性结论: 若D关于x,y满足轮换对称性(将D的边界曲线方程中的x与y交换位置,方程不变),则 * 证 所以, 例 * 二重积分在直角坐标下的计算公式 （在积分中要正确选择积分次序） 小结 ［Y－型］ ［X－型］ （1）化二重积分为二次积分； （2）交换积分次序； 题型 * 作业 习题8-2(1) (77页) 3.(1) (3)(4) 4. 5. 6.(1) (2) 7.(2)(3) * 计算(学生练习） 答案： * 解 由给出的积分画出相 应的积分区域 练习 第一章 行列式 http://mooker.80.hk