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第五讲：函数与方程 【例题精讲】 【例1】 ⑴函数在内零点的情况是 ． ⑵对实数和，定义运算“”：设函数，．若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是　　　． ⑶已知函数． ①若函数的定义域为，则实数的取值范围为 ； ②若函数的值域为，则实数的取值范围.为 . ⑷方程有两个根,且一个大于1,一个小于1, 则实数 的取值 范围为 . (5)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根,则 【例2】已知二次函数, ⑴ 若函数在区间上存在零点, 求实数的取值范围; ⑵ 问是否存在常数,当时,的值域为,且区间的长度为12. 【例3】已知函数 , ⑴若函数的定义域和值域均为,求实数的值. ⑵若函数在区间上是减函数,且对任意总有, 求实数的取值范围. 【例4】函数为奇函数，且．若在上的最小值为，求的值． 【课堂演练】 1．若方程的唯一解为，且，则　　　　． 2．已知函数f(x)的图象是连续不断的，且x与f(x)有如下的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 f(x) -2.3 3.4 0 -1.3 -3.4 3.4 则函数f(x)在区间[1，6]上的零点至少有 个． 3．已知函数f(x) = mx2+(m-3)x+1至少有一个值为正的零点，则实数m的取值范围是　　　　　． 4．函数的零点个数为　　　　　　． 5．若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值范围是 　　　　　． 6．已知函数．若在区间上是减函数，则实数的取值范围是　　　　　　． 7．已知二次函数． ⑴若，试判断的零点个数； ⑵若对且，证明：，使成立． 8．已知函数，其中常数满足． ⑴若，判断函数的单调性； ⑵若，求时的的取值范围． 第五讲：函数与方程 【例1】 ⑴函数在内零点的情况是 ．只有一个零点 ⑵对实数和，定义运算“”：设函数，．若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是　　　． 解：由题意得，即在同一坐标系内画出函数与的图象，结合图象可知，当时两个函数的图象有两个公共点，从而方程有两个不同的根，即与轴有两个不同交点． ⑶已知函数．①若函数的定义域为，求实数的取值范围②若函数的值域为，求实数的取值范围.①．；②． ⑷方程有两个根,且一个大于1,一个小于1, 求实数 的取值范围. (5)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根,则4．-8．提示：因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以, 由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以 【例2】已知二次函数, ⑴ 若函数在区间上存在零点, 求实数的取值范围; ⑵ 问是否存在常数,当时,的值域为,且区间的长度为12. 解：⑴∵函数的对称轴是，∴在区间上是减函数．∵函数在区间上存在零点，则必有 ：即 ∵． ⑵假设存在常数，∵，在区间上是减函数，在区间上是增函数，且对称轴是．①当时，在区间上，最大，最小，∴ ，即，解得．∴； ②当是，在区间上，最大，最小，∴，解得； ③当时，在区间上，最大，最小，∴，即，解得或．综上所述，存在常数，，满足条件． 【例3】已知函数 , ⑴若函数的定义域和值域均为,求实数的值. ⑵若函数在区间上是减函数,且对任意总有, 求实数的取值范围. 解：⑴∵∴在上是减函数．又定义域和值域均为，∴． ⑵∵函数在区间上是减函数，∴．又，且，∴在区间上， ． ∵对任意总有，∴． 【例4】函数为奇函数，且．若在上的最小值为，求的值． 解：由是奇函数，得，由得，，∴．设，则，∴对称轴．当时，此时 时，取得最小值．∴．．．当时在上无最小值．∴．综上所述，． 【课堂演练】 1．若方程的唯一解为，且，则　　　　． 2．已知函数f(x)的图象是连续不断的，且x与f(x)有如下的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 f(x) -2.3 3.4 0 -1.3 -3.4 3.4 则函数f(x)在区间[1，6]上的零点至少有 个．3 若一次函数有一个零点３，则的零点是　　　　　． 已知函数f(x) = mx2+(m-3)x+1至少有一个值为正的零点，试求实数m的取值范围． 解：当m=0