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显式模型预测控制综述 亚历山德罗·阿莱西奥和阿尔贝托· 本波拉德 (1) 其中,是状态矢量, 是输入矢量。假设一个简单的,控制和状态序列要满足的约束条件 ， （2） ,在它们的内部封闭集包含原点。假设控制目标引导状态的起源，MPC解决了如下的约束监管问题。假设在当前时刻t的状态量x(t)的完整测量是可使用的，那么下面的有限视距优化监管问题可以解决。 (3a) (3b) (3c) (3d) (3e) (3f) (3g) 其中，是优化变量的向量，，（一般情况下，z包括命令输入和额外的优化变量），闭集的选择，终端成本F,和终端增益，确保MPC方案的闭环稳定性。在每个时间步长t，表示在t+k时刻的预测状态向量，通过将输入序列应用到模型(1)中获得，起始状态。预测范围N0，是输入范围（）,“”表示特定组件的不平等。N是有穷的，如果f,l和F是连续的，是紧凑的，在式(3a)里有最小值。在每个时间步长t，问题的求解方法是通过求解程序发现的 （4） 从(3)求出最优控制序列，只有第一个输入被应用在系统（1） (5) 在时刻t+1基于新的状态x(t+1)，再次计算优化问题（3）。 MPC基本设置(3)可以在不同的情况下专门设置。主要取决于预测模型，性能指数和使用的终端条件。 1.1线性模型和二次成本 一个有限域的最优问题（3）的二次阶段的成本是通过设置在（3a）中的公式（6）制定的。 （6） 其中和为适当维数权重矩阵。式（3b）是一个确定性的线性离散时间预测模型 （7） 在式(3g)中,，是多面集，例如，也是多面集。如果代入，式(4)就变为二次规划问题： (8a) (8b) 其中，，C,Y,G,W,S为适当维数的矩阵[18].注意Y是不需要计算，它只影响(8a)的最优值。 1.2线性模型和线性成本 范数-和1-用来测量性能 (9) 其中，使用1.1节中所描述的相同设置。遇到范数-时，引入满足条件 的辅助变量，或等价于 (10) 其中，在（10）中的下标i表示第i行，问题（3）可以被映射为线性规划（LP）[12] (11a) (11b) 其中，是最后一次输入的数就是在预测时域重复的次数， 是优化向量，G,W,S是从模型矩阵A,B(10)的权重Q,R,P得到的。约束集和增益K。1 - 规范的情况下同样可以通过引入松弛变量来处理。 注意，由[62]得出的结果，上述超出1/∞范数重新扩展到任何凸分段仿射成本I，F，可以改写为一组有限的仿射函数的最大值。利用线性规划的基于优化的控制可追溯至六十年代初[60]。 1.3线性不确定型模型和最小 - 最大成本 鲁棒MPC规划(73)明确的考虑到预测模型的不确定性因素。 (12) 把分别建模为有界外部扰动和参数不确定性的未知量， 是多面体。鲁棒MPC策略经常被用来解决由一个最小-最大的问题，使执行输入和状态约束所有可能的干扰在最糟糕情况下的性能最小化。下面的最小 - 最大控制问题被称为开环受限的鲁棒最优控制问题（OL-CROC）[13]。 (13) s.t. dynamics(12) (3d),(3e),(3f)satisfied 如果使用范数1-或-[24,4]，最大-最小问题(12)-(13)可以通过线性规划来解决，或者通过使用二次成本进行二次规划[56]。基于开环的预测，某些情况下这种方法是相当保守的。它可以使用在[63]中描述的闭环预测方案重新制定鲁棒MPC问题。这种方法使我们联想到基于场景树的多阶段随机优化方法。其中最小和最大的问题使用交错和动态编程，这是在[13]中描述的另一种方法解决(闭环约束鲁棒最优控制问题，CL-CROC)： 用，求解  其中 (14) (15) 的边界条件： 1.4混合模型和线性或二次成本 MPC的设置也可延伸到（1）中的一种混合动力模式的情况下。当混合动力和可能的混合线性/逻辑离散约束，连续输入和状态变量使用HYS-DEL语言建模[71]，（3b）可自动转化为一组线性等式和不等式 (17a) (17b) 包括实数和二元变量，表示为混合逻辑动态（MLD）模型，其中是状态矢量，是输入矢量，，是(17b)对任意给定对定义的辅助变量隐式。矩阵和表示实常数矩阵，不等式(17b)必须逐分量解释。 基于二次成本相关的有界域最优控制问题 采取的形式（8），并受到进一步限制，即z的某些组件必须是二进制的。当式(17)(3a)中使用二次成本（6）时，该混合MPC问题映射为一个混合整数二次规划，或者是在式(9),(11)