利用定积分求简单几何体的体积-1.ppt

设由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b与x轴围成的平面图形(如图甲绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V. 在区间[a，b]内插入n－1个分点，使a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝1，把曲线y＝f(x)，a≤x≤b分割成n个垂直于x轴的“小长条”，如图甲所示．设第i个“小长条”的宽是Δxi＝xi－xi－1，i＝1,2，…，n.这个“小长条”绕x轴旋转一周就得到一个厚度是Δxi的小圆片，如图乙所示．当Δxi很小时，第i个小圆片近似于底面半径yi＝f(xi)的小圆柱，因此第i个小圆台体积Vi近似为Vi＝πf2(xi)Δxi. 该几何体的体积V等于所有小圆柱的体积和 V≈π[f2(x1)Δx1＋f2(x2)Δx2＋…＋f2(xi)Δxi＋…＋f2(xn)Δxn]． 这个问题是积分问题，则有 (1)找准母线的表达式及被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定了被积函数． (2)分清端点． (3)确定几何体的构造． (4)利用定积分进行体积表示． * 利用定积分求简单几何体的体积 （一）、复习： （1）、求曲边梯形面积的方法是什么？ (2)、定积分的几何意义是什么？ （3）、微积分基本定理是什么？ （二）新课探析 问题：求函数 ， x=a,x=b围成的平面图形 绕 轴旋转一周所得到的几何体的体积。 思考： 1．简单几何体的体积计算 2．利用定积分求旋转体的体积问题的关键在于　 3．一个以y轴为中心轴的旋转体的体积 y o x 例1、求由曲线 所围成的图形绕 轴旋转所得旋转体的体积。 例题研究 x y o x=1 变式练习1、求曲线 ，直线 ， 与 轴围成的平面图形绕 轴旋转一周所得旋 转体的体积。 答案： 例2、如图，是常见的冰激凌的形状，其下方是一个圆锥，上方是由一段抛物线弧绕其对称轴旋转一周所成的形状，尺寸如图所示，试求其体积。 分析：解此题的关键是如何建立数学模型。将其轴截面按下图位置放置，并建立坐标系。则A，B坐标可得，再求出直线AB和抛物线方程， “冰激凌”可看成是由抛物线弧OB和线段AB绕X轴旋转一周形成的。 解：将其轴截面按下图位置放 置，并建立如图的坐标系。则 ， ，设抛物线弧OA所在的抛物线方程为： ， 代入 求得： ∴抛物线方程为： （ ） 设直线AB的方程为： ，代入 求得： ∴直线AB的方程为： ∴所求“冰激凌”的体积为： 变式引申:某电厂冷却塔外形如图所示,双曲线的一部分绕其中轴(双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A,A’是双曲线的顶点，C,C’是冷却塔上口直径的两个端点，B,B’ 是下底直径的两个端点，已知AA’=14m,CC’=18m,BB’=22m,塔高20m. (1)建立坐标系，并写出该曲线方程． (2)求冷却塔的容积（精确到10m3塔壁厚度不计， 取3.14） Ａ Ｃ Ｂ Ａ’ Ｃ’ Ｂ’ * * *