利用球坐标计算三重积分-1.ppt

第三节 三重积分 换元法计算三重积分 一、柱面坐标求三重积分 二、球面坐标求三重积分 回顾 三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 ? 引例: 设在空间有限闭区域 ? 内分布着某种不均匀的 物质, 求分布在 ? 内的物质的 可得 “分割, 近似, 求和, 取极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为 定义. 设 存在, 称为体积元素, 若对 ? 作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在?上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 下列“乘 积和式” 极限 记作 1. 利用直角坐标计算三重积分 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算 最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法: 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 找 及在 面投影区域D。过D上一点 “穿线”确定 的积分上下限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按照二重积分的计算步骤计算投影区域D上的二重积分，完成”后二“这一步。 方法2. 截面法 (“先二后一”) 为底, d z 为高的柱形薄片质量为 该物体的质量为 面密度≈ 记作 2. 利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系: 坐标面分别为 圆柱面 半平面 平面 如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为，在二重积分的时候我们讲过极坐标的转化 面积微元为 因此 其中 适用范围: 1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离. 体积微元 其中?为由 例1. 计算三重积分 所围 解: 在柱面坐标系下 及平面 柱面 成半圆柱体. 先二后一 例2. 计算三重积分 解: 在柱面坐标系下 所围成 . 与平面 其中?由抛物面 原式 = 例3. 计算三重积分 解: 在柱面坐标系下 所围立体. 其中? 与球面 注：这个式子虽容易写出，但是要求积分结果非常难，我们能不能找到更加简便的方法来研究这道题目呢？ 3. 利用球坐标计算三重积分 就称为点M 的球坐标. 直角坐标与球面坐标的关系 坐标面分别为 球面 半平面 锥面 如图所示, 在球面坐标系中体积元素为 因此有 其中 适用范围: 1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单; 2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离. 例5. 计算三重积分 解: 在球面坐标系下 所围立体. 其中? 与球面 这种方法简单多了！ 内容小结 积分区域多由坐标面 被积函数形式简洁, 或 坐标系 体积元素 适用情况 直角坐标系 柱面坐标系 球面坐标系 * 说明: 三重积分也有类似二重积分的换元积分公式: 对应雅可比行列式为 变量可分离. 围成 ; （1）若空间闭区域关于平面 对称, 即 即被积函数关于z为偶函数时， 即被积函数关于z 为奇函数时, 则当 当 其中 是 位于 平面上侧的部分. 积分区域关于其它坐标平面： 对称，且被积 函数分别是 的奇、偶函数，也有上述类似的结论 一、利用空间区域的对称性或被积函数的奇偶性计算三重积分 （2）若空间区域具有轮换对称性，即 则 也就是三字母轮换积分区域不改变， 和球面 所围成 , 计算 提示: 利用对称性 用球坐标 其中 解: 利用对称性 关于 为奇函数 * * * *