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函数、极限和连续 §1.1 函数 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1(y) y=f-1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D 当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2), 则称f(x)在D内单调增加( )； 若f(x1)≥f(x2), 则称f(x)在D内单调减少( )； 若f(x1)＜f(x2), 则称f(x)在D内严格单调增加( )； 若f(x1)＞f(x2), 则称f(x)在D内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞) 周期：T——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c为常数) 2.幂函数： y=xn , (n为实数) 3.指数函数： y=ax , (a＞0、a≠1) 4.对数函数： y=loga x ,(a＞0、a≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x∈X 2.初等函数: 由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数 §1.2 极 限 主要内容 ㈠极限的概念 数列的极限: 称数列以常数A为极限; 或称数列收敛于A. 定理: 若的极限存在必定有界. 2.函数的极限： ⑴当时，的极限： ⑵当时，的极限： 左极限： 右极限： ⑶函数极限存的充要条件： 定理： ㈡无穷大量和无穷小量 无穷大量： 称在该变化过程中为无穷大量。 X再某个变化过程是指： 无穷小量： 称在该变化过程中为无穷小量。 无穷大量与无穷小量的关系： 定理： 无穷小量的比较： ⑴若,则称β是比α较高阶的无穷小量； ⑵若 （c为常数），则称β与α同阶的无穷小量； ⑶若，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α； ⑷若,则称β是比α较低阶的无穷小量。 定理：若： 则： ㈢两面夹定理 数列极限存在的判定准则： 设： （n=1、2、3…） 且： 则： 函数极限存在的判定准则： 设：对于点x0的某个邻域内的一切点 （点x0除外）有： 且： 则： ㈣极限的运算规则 若： 则：① ② ③ 推论：① ② ③ ㈤两个重要极限 1． 或 2． §1.3 连续 主要内容 ㈠ 函数的连续性 函数在处连续：在的邻域内有定义， 1o 2o 左连续： 右连续： 函数在处连续的必要条件： 定理：在处连续在处极限存在 函数在处连续的充要条件： 定理： 函数在上连续： 在上每一点都连续。 在端点和连续是指： 左端点右连续； 右端点左连续。 a+ 0 b- x 函数的间断点： 若在处不连续，则为的间断点。 间断点有三种情况： 1o在处无定义； 2o不存在； 3o在处有定义，且存在， 但。 两类间断点的判断： 1o第一类间断点： 特点：和都存在。 可去间断点：存在，但 ，或在处无定义。 2o第二类间断点： 特点：和至少有一个为∞， 或振荡不存在。 无穷间断点：和至少有一个为∞ ㈡函数在处连续的性质 连续函数的四则运算： 设， 1o 2o 3o 复合函数的连续性： 则： 反函数的连续性：