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(多元函数微分法及其应用) Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 第八章 多元函数微分法及其应用 本章主要讨论二元函数的微分法及其应用. 第一节 多元函数的基本概念 一. 平面点集 n维空间 1.平面点集 当在平面上引入一个直角坐标系后,平面上的点P与有序二元 实数组(x,y)之间建立 一一对应.这样我们把有序实数组和平面 上的点等同起来.这种建立了坐标系的平面称为坐标平面. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集, 记作 E = {(x,y)|(x,y)具有性质P}. 称为点 p(x,y)的全体, 邻域： 与点 的距离小于δ的 的δ邻域,记作 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 从几何图形看, U(p0,δ)表示以点 为中心,δ0为半径的圆的内 部所有的点如果不强调邻域半径δ, 用U(p)表示点. 的邻域 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 内点 外点 边界点 聚点 E p . 是E的内点. 设E是平面上的一个点集,p是平面上的一个点 如果存在点p的某一个邻域U(p),使U(p)∈E,则 称p为E的内点.(如图).显然,E的内点属于E,但E的点不一定 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 外点 如果存在点P的任一邻域U(p),使U(p)∩E=φ,则称P 为E的外点. 若点集E的点都是E的内点,则称E为开集, 例如,点集 E1={(x,y)|4 开集. 若点p的任一邻域内既有属于E的点,又有不属于E的点(点p 本身可以属于E也可以不属于E).则称p为E的边界点.E的边 界点的全体称为E的边界. 上面E1的边界是圆周 9}中每个点都是E1的内点,因而E1为 =9 =4和 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 因此,点集E的聚点可以属于E,也可以不属于E. 如果点p的任一邻域内总有无限多个点属于点集E,则称p为E 的聚点.显然E的内点一定是E的聚点,E的边界点也可能是E 的聚点.例如,设 一点既是 的聚点.并且它们不属于 的边界点又是 ={(x,y)|0x+y≤1}那么,直线x+y=0上的任 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 区域. 闭区域.例如{(x,y)|0≤x+y≤1} 开区域,(它又有一边包含边界)又不是闭区域 区域 若对于集合D内的任意两点都可以用完全位于D内的折线 连接起来,则称集合D为连通集.连通的开集称为开区域.简称 例, 不是开区域.因为它不是开集.区域连同它的边界一起,称为 既不是 不是闭区域,(因为它有一边不包含边界)因而 ={(x,y)|0x+y≤1 } 9}是开区域; ={(x,y)|4 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004