排列组合例题.doc

1.排列的定义: 从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 2.组合的定义: 从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. ①分类记数原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N= m1+ m2 +…..+ mn种不同的方法. ②分步记数原理（乘法原理）：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2 步有m2种不同的方法， ……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1× m2 ×.…..× mn种不同的方法. ③两个原理的区别：前者各种方法相互独立，用其中的任何一种方法都可以完成这件事；后者每个步骤相互依存，只有每个步骤都完成了，这件事才算完成．对前者的应用，如何分类是关键，如排数时有0没有0，排位时的特殊位置等；后者一般体现在先选后排． 从 n 个不同元素中取出m个元素的排列数 例1：7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆中，问有多少不同的种法？ 解一：分两步完成 第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置 第二步排其余的位置： 解二：第一步由葵花去占位 第二步由其余元素占位： 小结：当排列或组合问题中,若某些元素或某些位置有特殊要求的时候，那么，一般先按排这些特殊元素或位置，然后再按排其它元素或位置，这种方法叫特殊元素（位置）分析法。 例2：要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，如果舞蹈节目不排头，并且任何2个舞蹈节目不连排，则不同的排法有几种？ 解：5个独唱节目的排法是P55舞蹈不排在头一个节目，又需任何两个舞蹈不连排,只要把舞蹈节目,插入独唱节目的5个空隙中即可,即舞蹈节目的排法是P53,所以排法的种数为 小结：当某几个元素要求不相邻时，可以先排没有条件限制的元素，再将要求不相邻的元素按要求插入已排好元素的空隙之中，这种方法叫插入法。 例3 学生要从六门课中选学两门:（1）有两门课时间冲突，不能同时学，有几种选法？ （2）有两门特别的课，至少选学其中的一门，有几种选法？ (1) 解法一： 解法二： (2)解法一： 解法二： 例4 9人排成一行，下列情形分别有多少种排法？ ⑴甲不站排头，乙不站排尾； 解法一：(分类法) 解法二：(排除法) ⑵甲乙必须排在一起，丙丁不能排在一起； 点评：小团体排列问题中，先整体后局部，再结合不相邻问题的插空处理. ⑶甲、乙、丙从左到右排列； ⑸分成甲、乙、丙三组，甲组4人，乙组3人，丙组2人； 例5 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？ 解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。 个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有____,只含有1个偶数的取法有_____,和为偶数的取法共有____+_ 有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰. 例6设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法？ 解：从5个球中取出2个与盒子对号有_____种还剩下3球3盒序号不能对应操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法, 例7（徐州二模）从6人中选4人组成4×100m接力赛，其中甲跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多少种选法？ 分析：（一）直接法 （二）间接法 =48 （一）排列 解排列问题，必须认真审题，明确问题是否是排列问题，那是否有序，抓住问题本质特征。 1、特殊元素的“优先按排法”。 例1、用0、1、2、3、4这五个数字，组成没有重复的三位数，其中偶数共有多少？ （分析）由于三位数是偶数，故末尾数字必须是偶数，以“0”不能排在首位，所以“0”就是其中特殊元素，优先按排。按“0”在末尾和不在末尾分为两类。共A+AAA=30 2、相邻问题有“捆绑法”。对于某几个元素要求相邻的排列问题，可将先相邻的元素“捆绑”起来，作为一个“大”的元素，与其他元素排列，然后再对相邻元素的内部进行排列。 例2、7人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人相邻有多少种不同的排法？ （分析）先把甲乙丙三人“捆绑“看作一个元素，与其余