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[步步高2014届高三数学大一轮复习9.1直线的方程教案理新人教A版
§9.1 直线的方程
2014高考会这样考 1.考查直线的有关概念,如直线的倾斜角、斜率、截距等;考查过两点的斜率公式;2.求不同条件下的直线方程(点斜式、两点式及一般式等);3.在直线与圆锥曲线的关系问题中考查直线.
复习备考要这样做 1.理解数形结合的思想,掌握直线方程的几种形式,会根据已知条件求直线方程;2.会根据直线的特征量画直线,研究直线性质.
1. 直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
①定义:当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.
②倾斜角的范围为[0°,180°).
(2)直线的斜率
①定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=tan_α,倾斜角是90°的直线斜率不存在.
②过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2) (x1≠x2)的直线的斜率公式为k=.
2. 直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围 点斜式 y-y0=k(x-x0) 不含垂直于x轴的直线 斜截式 y=kx+b 不含垂直于x轴的直线 两点式 = 不含直线x=x1 (x1≠x2)和直线y=y1 (y1≠y2) 截距式 +=1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax+By+C=0(A2+B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 3.过P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程
(1)若x1=x2,且y1≠y2时,直线垂直于x轴,方程为x=x1;
(2)若x1≠x2,且y1=y2时,直线垂直于y轴,方程为y=y1;
(3)若x1=x2=0,且y1≠y2时,直线即为y轴,方程为x=0;
(4)若x1≠x2,且y1=y2=0时,直线即为x轴,方程为y=0.
4. 线段的中点坐标公式
若点P1、P2的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),且线段P1P2的中点M的坐标为(x,y),则,此公式为线段P1P2的中点坐标公式.
[难点正本 疑点清源]
(1)直线的倾斜角与斜率的关系
斜率k是一个实数,当倾斜角α≠90°时,k=tan α.直线都有倾斜角,但并不是每条直线都存在斜率,倾斜角为90°的直线无斜率.
(2)①求直线方程时,若不能断定直线是否具有斜率时,应对斜率存在与不存在加以讨论.②在用截距式时,应先判断截距是否为0,若不确定,则需分类讨论.
1. 若直线斜率的绝对值等于1,则直线的倾斜角为___________.
答案 45°或135°
解析 由|k|=|tan α|=1,知:k=tan α=1或k=tan α=-1.又倾斜角α∈[0°,180°),∴α=45°或135°.
2. 若点A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则a的值为__________.
答案 4
解析 由==1,得a=4.
3. 过点M(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________.
答案 x+y+1=0或4x+3y=0
解析 ①若直线过原点,则k=-,
∴y=-x,即4x+3y=0.
②若直线不过原点.设+=1,即x+y=a.
∴a=3+(-4)=-1,∴x+y+1=0.
4. 直线l经过A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点.则直线l的倾斜角的取值范围为____________.
答案 ∪
解析 直线l的斜率k==1-m2≤1.
若l的倾斜角为α,则tan α≤1.
又∵α∈[0,π),∴α∈∪.
5. 如果A·C0,且B·C0,那么直线Ax+By+C=0不通过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 C
解析 由已知得直线Ax+By+C=0在x轴上的截距-0,在y轴上的截距-0,故直线经过一、二、四象限,不经过第三象限.
题型一 直线的倾斜角与斜率
例1 (1)若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐标为(1,-1),则直线l的斜率为( )
A. B.-
C.- D.
(2)直线xcos α+y+2=0的倾斜角的范围是( )
A.∪ B.∪
C. D.
思维启迪:斜率公式和倾斜角的定义是解决这类问题的基础,范围可结合图形考虑.
答案 (1)B (2)B
解析 (1)依题意,设点P(a,1),Q(7,b),
则有,解得a=-5,b=-3,
从而可知直线l的斜率为=-.
(2)由xcos α+y+2=0得直线斜率k=-cos α.
∵-1≤cos α≤1,∴-≤k≤.
设直线的倾斜角为θ,则-≤tan θ≤.
结合正切函数在∪上的图象可知,
0≤θ≤或≤θπ.
探究提高 直线倾斜角的范围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此
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