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[步步高届高三数学大一轮复习椭圆学案理新人教A版
学案51 椭 圆
导学目标: 1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义,几何图形、标准方程及其简单几何性质.
自主梳理
1.椭圆的概念
在平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做________.这两定点叫做椭圆的________,两焦点间的距离叫________.
集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a0,c0,且a,c为常数:
(1)若________,则集合P为椭圆;
(2)若________,则集合P为线段;
(3)若________,则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 +=1
(ab0) +=1
(ab0) 图形 性
质 范围 -a≤x≤a
-b≤y≤b -b≤x≤b
-a≤y≤a 对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0)
B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a)
B1(-b,0),B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|=2c 离心率 e=∈(0,1) a,b,c
的关系 c2=a2-b2
自我检测
1.已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是( )
A.2 B.6 C.4 D.12
2.(2011·揭阳调研)“mn0”是方程“mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知椭圆x2sin α-y2cos α=1 (0≤α2π)的焦点在y轴上,则α的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4.椭圆+=1的焦点为F1和F2,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1|是|PF2|的( )
A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍
5.(2011·开封模拟)椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是(0,2),那么k等于( )
A.-1 B.1 C. D.-
探究点一 椭圆的定义及应用
例1 (教材改编)一动圆与已知圆O1:(x+3)2+y2=1外切,与圆O2:(x-3)2+y2=81内切,试求动圆圆心的轨迹方程.
变式迁移1 求过点A(2,0)且与圆x2+4x+y2-32=0内切的圆的圆心的轨迹方程.
探究点二 求椭圆的标准方程
例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程:
(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0);
(2)经过两点A(0,2)和B.
变式迁移2 (1)已知椭圆过(3,0),离心率e=,求椭圆的标准方程;
(2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(,1)、P2(-,-),求椭圆的标准方程.
探究点三 椭圆的几何性质
例3 (2011·安阳模拟)已知F1、F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.
(1)求椭圆离心率的范围;
(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
变式迁移3 已知椭圆+=1(ab0)的长、短轴端点分别为A、B,从此椭圆上一点M(在x轴上方)向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,AB∥OM.
(1)求椭圆的离心率e;
(2)设Q是椭圆上任意一点,F1、F2分别是左、右焦点,求∠F1QF2的取值范围.
方程思想的应用
例 (12分)(2011·北京朝阳区模拟)已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为,且经过点M(1,),过点P(2,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A,B.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在直线l,满足·=2?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
【答题模板】
解 (1)设椭圆C的方程为+=1(ab0),
由题意得解得a2=4,b2=3.故椭圆C的方程为+=1.[4分]
(2)若存在直线l满足条件,由题意可设直线l的方程为y=k(x-2)+1,由
得(3+4k2)x2-8k(2k-1)x+16k2-16k-8=0.[6分]
因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A,B,
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
所以Δ=[-8k(2k-1)]2-4·(3+4k2)·(16k2-16k-8)0.
整理得32(6k+3)0,解得k-.[7分]
又x1+x2=,x1x2=,
且·=2
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