教学设计(修改后).doc

教学基本信息 课题 椭圆及其标准方程 学科 数学 学段： 高中 年级 高二 相关 领域 航天 教材 书名：全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上） 出版社： 人民教育出版社 出版日期： 2006 年11 月 教学设计 课题 椭圆及其标准方程 一、指导思想与理论依据 （1）建构主义理论——建构主义认为知识不是通过教师讲授得到的，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，借助其他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，充分利用各种学习资源（包括文字教材、音像资料、多媒体课件、软件工具以及从Internet上获取的各种教学信息等等），通过意义建构而获得。由于学习是在一定的情境下借助其他人的帮助即通过人际间的协作活动而实现的意义建构过程，因此建构主义学习理论认为“情境创设”、“协作学习”、“会话交流”是学习环境的基本要素。）高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用。 教学难点：椭圆标准方程的推导。 3. 教学方法：“ 引导学生类比圆的研究过程，结合学生做动点轨迹的过程以及演示椭圆生成动画，从运动变化中寻找不变关系，观察动点运动过程中所有元素的特征，尝试给椭圆下定义。 学生容易观察出：F1 ,F2 为两定点,线段MF1与MF2的长的和始终都是绳长2a,因此得出结论：椭圆是到两定点的距离和为常数的点的集合。 请其他同学提出补充：应注意“平面内”这个前提，否则就变成立体图形了。 教师继续追问：这样椭圆的定义就完善、严谨了吗？学生遇到思维障碍，教师启发学生：尝试改变点F1 、F2的位置或改变绳长，再观察动点轨迹。 学生动手操作后得出结论：若常数，则点的轨迹是线段，若常数，则轨迹不存在．所以要使轨迹是椭圆，必须加上限制条件：“此常数大于”。 归纳出椭圆定义：平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点轨迹叫做椭圆。 教师给出焦点与焦距的定义：这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距。 第二阶段：类比圆的研究、探究椭圆的标准方程 1、回忆求圆的标准方程的步骤 建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标； 写出适合条件p的点的集合P={M|p(M)}； 用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x,y)=0； 化方程f(x,y)=0为最简形式； 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点（有时可省）。 2、类比圆的标准方程的推导过程，推导椭圆的标准方程 第一步：建系设点 类比圆的标准方程的推导过程，学生容易提出如图所示的建系方法： 以两定点、所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系（如图）．设．，为椭圆上的任意一点，则、．又设与、的距离的和等于． 第二步：集合表示 由椭圆定义得：动点M的集合为： 第三步：坐标化 用含有动点坐标的方程表示：． 第四步：化简方程 （1）化简含有根式的方程得 教师引导学生总结： 方程中只有一个根式时，须将它单独留在方程的一边，把其它项移至另一边； 方程中有两个根式时，须将它们分别放在方程的两边，并且使其中一边只有一项。 （2）参数b的引入： 得到椭圆的初始方程后，教师继续引导学生观察椭圆图形和推导出的椭圆方程的系数，学生容易发现实际上对应图形中的特殊线段，不妨令其为，这种处理不仅自然，而且为后续椭圆几何意义的研究作了铺垫。此时的方程两边次数一样且非常工整。 接下来我引导学生类比由化简为截距式方程的方法将方程继续化简得到椭圆的标准方程，对比（*）式引导学生发现数学的对称美，简洁美。 （3）求出椭圆的标准方程： ，它表示椭圆的焦点在轴上，焦点是、．这里。 观察方程特征，由学生独立思考或交流讨论得出焦点在y轴时的椭圆标准方程：此时点、的坐标分别为、，那么所得方程就变为。 第五步：证明 求得曲线的方程以后，一般应证明所求得的方程确是曲线的方程，向学生说明这节课中由于椭圆方程的化简过程是等价变形，所以没有要求证明。 3．两种标准方程的比较（引导学生归纳）。 （三）应用拓展 为了更加深刻的理解椭圆的定义和椭圆的标准方程，根据课时目标和学生的实际情况，我安排了以下问题： 例 求两个焦点的坐标分别是、，并且经过点的椭圆方程． 法一：因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为． 由椭圆的定义知： ∴，又 ∴ 所以所求椭圆的标准方程为． 法二：设所求的标准方程为 依题意得 解得 所以所求椭圆的标准方程． 回顾：此题的解法一运用的仍然是椭圆定义，解法二用的是待定系数法。通过此题的解决，引导学生归纳求椭圆的标准方程的基本方法：先确定焦点的位置，设出标准方程（若不能确定焦点的位置，则应