用空间向量法解决立体几何问题..docx

用空间向量法解决立体几何问题1．两个重要向量(1)直线的方向向量: 直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量: 直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量．2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2[来源:n1∥n2?n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m?m·n＝0l⊥αn∥m?n＝λm平面α、β的法向量分别为n，m.α∥βn∥m?n＝λmα⊥βn⊥m?n·m＝03.两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝(其中φ为异面直线a，b所成的角)．4．直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cos θ|＝.5．求二面角的大小(1)如图①，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．提示：两向量的夹角范围是[0，π]；两异面直线所成角的范围是（0，]；直线与平面所成角的范围是 [0，]；二面角的范围是[0，π].【注意】空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系：求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，而不是线面角的余弦；②求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析.6．点到平面的距离的向量求法如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝.一、用向量法证明平行、垂直【例1】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E、F、E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点．(1)求证：CE∥平面C1E1F；（2）求证：CF⊥平面C1EF.(3)求证：平面C1E1F⊥平面CEF.【解析】以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设BC＝1，则C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E1.(1)设平面C1E1F的法向量n＝(x，y，z)．∵＝，＝(－1,0,1)，∴即取n＝(1,2,1)．∵＝(1，－1,1)，n·＝1－2＋1＝0，∴⊥n.又∵CE?平面C1E1F，∴CE∥平面C1E1F.（2）E(1,0,1)，F(1,1,1)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)，∴＝(1,0,1)，＝(1,0，－1)，＝(0,1,0)．　　　　 ∴·＝1×1＋0×0＋1×(－1)＝0，·＝1×0＋0×1＋1×0＝0.∴⊥，⊥.∴CF⊥C1F，CF⊥EF.∵C1F∩EF＝F，∴CF⊥平面C1EF.(3)设平面EFC的法向量为m＝(a，b，c)，由＝(0,1,0)，＝(－1,0，－1)，∴即取m＝(－1,0,1)．∵m·n＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0，∴平面C1E1F⊥平面CEF.【方法?规律】1.向量法证明空间平行或垂直的关键点利用向量法证明空间中的平行或垂直的问题时，建系是关键的一步，通常借助于几何图形中的垂直关系选择坐标原点和坐标轴，并让尽可能多的顶点在坐标轴上.2.向量法证明线面平行的注意点用向量法证线面平行可以证明直线的一个方向向量与平面内的某一向量是共线?平行?向量，也可以证明直线的方向向量与平面的某个法向量垂直，在具体问题中可选择较简单的解法.【变式】如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.【解析】设AD＝DE＝2AB＝2a，建立如图所示的坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)．∵F为CD的中点，∴F.(1)证明：＝，＝(a，a，a)，＝(2a,0，－a)，∵＝(＋)，AF?平面BCE，∴AF∥平面BCE.(2)证明：∵＝，＝(－a，a,0)，＝(0,0，－2a)，∴·＝0，·＝0，∴⊥，⊥.又CD∩DE＝D，∴⊥平面CDE，即AF⊥平面CDE.又AF∥平面BCE，∴平面BCD⊥平面CDE.二、利用空间向量求空间角【例2】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB＝FB＝1.(1)求二面角C－DE－C1的正切值；(