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Chapter1电磁现象的普遍规律 计算、证明题 真空中有一静电场，场中各点，试证明(1)当时，，即仅是的函数；(2)当时，是常矢量. 【证】（1）由于，且电荷密度，故 所以，得 即 （2）当时，由（1）中的结果，有 所以，当时，电场为一常矢量，即均匀电场 在一个半径为的介质球内，极化强度矢量沿径向向外，其大小正比于离开球心的距离，试求介质内、外的电荷密度、电场强度和电位移矢量. 【解】：利用介质中极化电荷体密度与极化强度的关系 时， 时， 在的球面上，极化电荷体密度 由于球内、球面上电荷分布具有球对称性，故电场也具有球对称性，做一半径为的同心球面.由高斯定理得，时，有 时，有 证明在载有稳恒电流电流的线性介质中，磁化电流分布在介质的不均匀处以及存在自由电流的地方 【证】：由于磁化电流密度 对于线性介质，，代入上式，得 又因为是稳恒电流，故，所以 在同一空间中存在静止电荷的电场和永久磁铁的磁场，此时可能存在矢量，但没有能流，证明对于任一闭合表面有 【证】：利用积分变化关系 由于 对于静止电荷、永久磁铁产生的电磁场，属于稳恒场，且传到电流，故 代入得 所以 5. 电流稳恒地流过两个线性导电介质的交界面，已知两导电介质的电容率和电导率分别为、和、，交界面上的电流密度分别为和，试求交界面上自由电荷面密度. 【解】：在介质的交界面上，自由电荷面密度 由于且，其中为介质的电导率，所以，得到 代入，得 式中、是电流密度在界面处的法向分量 由于电流稳恒，满足，在界面上有 ，即 所以界面上自由电荷面密度 6. 已知一静电场，其中是实数，设某一时刻，在点沿轴方向把带电粒子注入到此电场中，带点粒子的质量为，电荷电量为，注入的初速度为，求粒子的运动方程的解，并说明所得的解得物理意义. 【解】带电粒子运动时满足 沿方向的分量方程分别为 由已知条件，时，，利用这些初始条件，解得 ，式中 7. 用高斯公式证明 【证】用非零的任意常矢量点乘上式左边得 根据矢量分析公式 令其中的，，便得 因此（1）式左边 又由高斯公式有 所以 因为为非零的任意常矢量，故得 8.用斯托克斯定理证明，式中为常矢量. 【证】由矢量分析公式有 令，则由斯托克斯公式和上式得 9.设电磁场的能量密度为，能流密度为.试由麦克斯韦方程证明：对于各向同性的绝缘介质来说， 【证】对绝缘介质来说，电导率为，这时麦克斯韦方程为 由矢量分析公式 得 将（1）（2）两式代入上式得 对于各向同性的介质来说， ， 电容率和磁导率都是常量，故有 将（4）（5）两式代入（3）式便得 所以 10.由麦克斯韦方程组出发，求电导率为、电容率为的均匀介质内部自由电荷量与时间的关系 【解】设在这介质内部，由于某种原因，在时刻，有自由电荷分布，电荷量的密度为；到时刻，电荷量的密度变为，则由麦克斯韦方程组得 求解，并利用初始条件便得 当时，。这表明，在静电平衡是，电导率的均匀介质内自由电荷量密度为零. 11.试由麦克斯韦方程组导出电荷守恒定律. 【解】 12．若磁单极子存在，且静止磁荷之间的相互作用力遵守磁库仑定律，式中和分别是两个磁单极子的磁荷.（1）试求磁荷量的单位；（2）磁荷量为的磁单极子处在磁场中时，它的受力公式是还是？（3）试写出符合磁荷量守恒的麦克斯韦方程组. 【解】由题给的磁库伦定律，得磁荷量的单位为 故得的单位为1 （2）磁库伦定律中的单位为 这是磁场强度的单位，故知在磁场中的受力分析为 （3）磁单极子存在时的麦克斯韦方程为 式中为磁荷量密度，为磁荷流密度. 由电荷量守恒定律 知磁荷量守恒定律为 根据矢量分析公式，由（2）（3）两式得 可见（1）（2）（3）（4）式是满足磁荷量守恒的麦克斯韦方程组. 13. 在空间有互相垂直的均匀电场和均匀磁场， 沿轴方向，沿轴方向.一电子(质量为，电荷量为)开始从原点出发，以速度向轴方向前进，如图所示.试求电子运动的轨迹. 【解】 已知 时， 电子的运动方程为 解（1）式并用初始条件得 这表明电子在平面内运动. 将（2）式对时间积分，并利用初始条件得 将上式代入（3）式便得 解得 利用初始条件定出常数和，便得 将上式的代入（5）式得 积分并利用初始条件得 （4）式、（6）式和（7）式表明，电子的轨迹是y-z平面里的一条摆线（旋轮线）. 14.大平行板电容器充电后，