期末数学复习笔记!.doc

高等数学（非数院） 第一章 函数与极限 第一节 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） U?a,???x|x?a?? ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★） （定理三）假设f?x?为有界函数，g?x?为无穷小，则lim??f?x??g?x????0 （定理四）在自变量的某个变化过程中，若f?x? 为 ?? U?a,????x|0?x?a??? 第二节 数列的极限 ○数列极限的证明（★） 【题型示例】已知数列?xn?，证明lim?xn??a x?? ? ?x?为无穷小；反之，若f?x?为无 ?1 穷小，且f?x??0，则f?x?为无穷大 【题型示例】计算：lim?f?x??g?x???（或x??） x?x? 无穷大，则f ?1 1．∵f?x?≤M∴函数f?x?在x?x0的任一去心邻域U?x0,??内是有界的； （∵f?x?≤M，∴函数f?x?在x?D上有界；） 2．limg?x??0即函数g?x?是x?x0时的无穷小； （limg?x??0即函数g?x?是x??时的无穷小；） x?? ? 【证明示例】??N语言 1．由xn?a??化简得n?g???， ∴N???g????? 2．即对???0，?N???g?????。当n?N时，始终有不等式xn?a??成立， ∴lim?xn??a x?? x?x0 3．由定理可知lim??f?x??g?x????0 x?x0 （lim??f?x??g?x????0） x?? 【题型示例】已知函数f?x?，证明limf?x??A x?x0 第三节 函数的极限 ○x?x0时函数极限的证明（★） 第五节 极限运算法则 ○极限的四则运算法则（★★） （定理一）加减法则 （定理二）乘除法则 关于多项式p?x?、q?x?商式的极限运算 mm?1 ??p?x??a0x?a1x???am 设：? nn?1 ??q?x??b0x?b1x???bn ??n?m?p?x??a0 则有lim?? n?m x??qx?b0 n?m??0 ?f?x0? g?x0??0? gx0f?x??? g?x0??0,f?x0??0 lim??? x?x0gx?0 ?g?x0??f?x0??00?? f?x?0 ?（不定型）时，通常分（特别地，当lim x?x0gx0 【证明示例】???语言 1．由f?x??A??化简得0?x?x0?g???， ∴??g??? 2．即对???0，???g???，当0?x?x0??时，始终有不等式f?x??A??成立， ∴limf?x??A x?x0 ○x??时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数f?x?，证明limf?x??A x?? 【证明示例】??X语言 1．由f?x??A??化简得x?g???， ∴X?g??? 2．即对???0，?X?g???，当x?X时，始终有不等式f?x??A??成立， ∴limf?x??A x?? 第四节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质（★） 函数f?x?无穷小?limf?x??0 函数f?x?无穷大?limf?x??? 子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解） 【题型示例】求值lim x?3 x?3 2 x?9 1/9 【求解示例】解：因为x?3，从而可得x?3，所以原式?lim x?3 x?3x?311 ?lim?lim? 2x?3x?3x?9x?36x?3x?3?2x?3? 解：lim??x??2x?1?? x?1 ?2x?1?2? ?lim??x?? ?2x?1? 2x?12 ???x?1?22x?1 x?1 2?? ?lim?1??2x?1?? ?2x?1? 2 x?1 x?3 其中x?3为函数f?x??2的可去间断点 x?9 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）： 2?? ?lim?1??2x?1?? ?2x?1? 2x?12x?1 ??22?? ?lim??1???2x?1????2x?1?? ??? ??x?1?? ? ?2?lim??x?1?? ?2x?1???2x?1 ??x?1? x?3???x?311 ?lim?lim? 解：lim2 x?3x?9L?x?3x?32x6? ?x2?9? ○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★） （定理五）若函数f?x?是定义域上的连续函数，那么，limf???x???f?lim??x?? ????x?x0?x?x0?【题型示例】求值：lim【求解示例】x?3 ? 2?? ??lim?1? ?2x?1???2x?1????e 2x?1??? 2x?12 ???? 2x?1????2x?1 lim ?2 ?e ?2x?2? lim?? 2x?1? ?e1?e x?3 x?3 x2?9 第七节 无穷小量的阶（无