同余的基本概念和性质-1.ppt

§3. 1 同余的概念和性质 第三章 同 余 同余是数论中的一个基本概念。本章除介绍同余的基础知识外，还要介绍它的一些应用。 第一节 同余的基本性质 定义1 给定正整数m，如果整数a与b之差被m整除，则称a与b对于模m同余，或称a与b同余，模m，记为 a ? b (mod m)， 此时也称b是a对模m的同余 如果整数a与b之差不能被m整除，则称a与b对于模m不同余，或称a与b不同余，模m，记为 a b (mod m)。 第一节 同余的基本性质 定理1 下面的三个叙述是等价的： (ⅰ) a ? b (mod m)； (ⅱ) 存在整数q，使得a = b ? qm； (ⅲ) 存在整数q1，q2，使得a = q1m ? r， b = q2m ? r，0 ? r m。 证明 留作习题。 第一节 同余的基本性质 定理2 同余具有下面的性质： (ⅰ) (自反性) a ? a (mod m)； (ⅱ) (对称性) a ? b (mod m) ? b ? a (mod m); (ⅲ) (传递性) a ? b，b ? c (mod m) ? a ? c (mod m)。 证明 留作习题。 第一节 同余的基本性质 定理3 设a，b，c，d是整数，并且 a ? b (mod m)，c ? d (mod m)， (1) 则 (ⅰ) a ? c ? b ? d (mod m)； (ⅱ) ac ? bd (mod m)。 证明 (ⅰ) 由式(1)及定义1可知 m?a ? b，m?c ? d， 第一节 同余的基本性质 因此 m?(a ? c) ? (b ? d)， 此即结论(ⅰ)； (ⅱ) 由式(1)及定理1可知，存在整数q1与q2使得 a = b ? q1m，c = d ? q2m， 因此 ac = bd ? (q1q2m ? q1d ? q2b)m， 再利用定理1，推出结论(ⅱ)。证毕。 第一节 同余的基本性质 定理4 设ai，bi（0 ? i ? n）以及x，y都是整数，并且 x ? y (mod m)，ai ? bi (mod m)，0 ? i ? n， 则 (2) 证明 留作习题。 第一节 同余的基本性质 定理5 下面的结论成立： (ⅰ) a ? b (mod m), d?m, d0? a ? b (mod d); (ⅱ) a ? b (mod m), k 0, k?N ? ak ? bk (mod mk)； (ⅲ) a ? b (mod mi )，1 ? i ? k ? a ? b (mod [m1, m2, ?, mk])； (ⅳ) a ? b (mod m) ? (a, m) = (b, m)； (ⅴ) ac ? bc(modm), (c, m) =1? a ? b (mod m). 第一节 同余的基本性质 证明 结论(ⅰ)—(ⅳ)的证明，留作习题。 (ⅴ) 由 ac ? bc (mod m) 得到m?c(a ? b)，再由(c, m) = 1和第一章第三节定理4得到m?a ? b，即 a ? b (mod m)。 证毕。 第一节 同余的基本性质 例1 设N =是整数N的十进制表示，即 N = an10n ? an ? 110n ? 1 ? ? ? a110 ? a0 ，则 (ⅰ) 3|N ? (ⅱ) 9|N ? (ⅲ) 11|N ? (ⅳ) 13|N ? 第一节 同余的基本性质 证明 由 100 ? 1，101 ? 1，102 ? 1，? (mod 3) 及式(2)可知 N =(mod 3)， 由上式可得到结论(ⅰ)。 结论(ⅱ)，(ⅲ)用同样方法证明。 第一节 同余的基本性质 为了证明结论(ⅳ)，只需利用式(2)及 100 ? 1，101 ? ?3，102 ? ?4，103 ? ?1，? (mod 13) 和 第一节 同余的基本性质 注: 一般地，在考虑使 被m除的余数时，首先是求出正整数k，使得 10k ? ?1或1 (mod m)， 再将 写成 的形式，再利用式(2)。 第一节 同余的基本性质 例2 求