《离散数学课件》1-2集合的基本概念_图文.pptVIP

*/69 一、全集 定义: 我们在研究某一个具体问题时，往往规定一个集合，使所涉及的集合都是它的子集合，称这个集合为全集， 记为U (或E )。 全集是个有相对性的概念，不同的问题，可以规定不同的全集。 */69 二、补运算： ā、 ?A 定义：设A是一个集合,U 是全集合，我们称集合U–A为A的补集，记为ā或?A ，即有： ā={ x│x?A且x?U } U A ā */69 定理1 A是一个任意集合，则 A∪? = A A∩U= A */69 定理2 A是一个任意集合，则 A∪ā= U A∩ ā = ? */69 定理3 ā=B当且仅当A∪B=U且A∩B=? 证明： “?” 由定理1结论成立。 “?” 设A∪B=U 且A∩B=? ，则 　　　B =B∩U =B∩(A∪ā)=(B∩A)∪(B∩ā) 　　　 =?∪(B∩ā) = (A∩ā) ∪(B∩ā) 　　　 =(A∪B)∩ā=U∩ā=ā 任一集合的补集合是唯一的。 */69 推论：设A是任意一个集合，则 */69 定理4 德·摩根定律 三、运算定律 ?(A?B)=?A??B ?(A?B)=?A??B * 证明： ?(A ∩ B)=?A ∪ ?B 对任意的x ， x??(A ∩ B) ? x?U ? x ? A ∩ B。 x?U ? ?（ x?A ? x?B ） x?U ? （ ? x?A ? ? x?B ） x?U ? （ x ? A ? x ? B ） (x?U ? x ? A) ? (x?U ? x ? B) x? ?A ? x? ?B ? x?( ? A∪?B ) */69 定理5 (p83) 证明： 因而结论得证。 */69 例 (p84) (A–B)∩(A–C)=A– (B∪C) 证明： */69 解： 当仅当且A的元素不会同时为B与C的元素时, 即当仅当且A∩B∩C=? 时, 等式成立。 例1 (p78) (A-B)∪(A-C)=A在何条件下成立？ 注意: 此解答比p78的解答简单清楚多了. * 集合基本运算的定义 并 A?B = { x | x?A ? x?B } 交 A?B = { x | x?A ? x?B } 相对补 A?B = { x | x?A ? x?B } 对称差 A?B = (A?B)?(B?A) = (A?B)?(A?B) 绝对补 ?A = E?A * ? ? ? 交换 A?B=B?A A?B=B?A A?B=B?A 结合 (A?B)?C= A?(B?C) (A?B)?C= A?(B?C) (A?B)?C= A?(B?C) 幂等 A?A=A A?A=A ?与? ?与? 分配 A?(B?C)=(A?B)?(A?C) A?(B?C)=(A?B)?(A?C) A?(B?C)=(A?B)?(A?C) 吸收 A?(A?B)=A A?(A?B)=A 集合运算的算律 吸收律的前提：?、?可交换 * 集合运算的算律（续） ? ? D.M 律 A?(B?C)=(A?B)?(A?C) A?(B?C)=(A?B)?(A?C) ?(B?C)=?B??C ?(B?C)=?B??C 双重否定 ??A=A ? E 补元律 A??A=? A??A=E 零律 A??=? A?E=E 同一律 A??=A A?E=A 否定 ??=E ?E=? 集合论是德国数学家康托 (G. Cantor) 在十九世纪七十年代建立的。他所做的工作一般称为朴素集合论。由于朴素集合论在定义集合的方法上缺乏限制，会导致悖论，经许多数学家的努力，在二十世纪初创立的一门更新的理论称为公理集合论。 希尔伯特是最支持康托理论的数学家之一，他赞誉康托的超限算术为“数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现。”著名哲学家罗素把康托的工作描述为“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。 康托因创立集合论而遭非难。由于被当时数学权威克罗内克（L. Kronecker）列为打假对象，康托终其一生只能在一所三流学院任教。一旦条件稍好的学校要聘康托任教，克罗内克等数学权威就出面干涉。 现代数学的发展告诉我们，康托的集合论是 自古希腊时代以来两千多年里，人类认识史上第一次给无穷建立起