华南理工大学广州学院 微积分 第二章 1-3节.pptVIP

函数与极限 第二章 极限与连续 第一节 数列的极限 内容提要 1．数列极限的定义； 2．收敛数列的性质。 教学要求 1．了解数列极限的的定义，在学习过程中要逐步加深对极限思想的理解； 3．理解收敛数列的有界性，极限的唯一性等性质。 一、极限概念的引入(了解) 例3 当n趋于无穷大时，下列极限发散的是（ ） A B C D 四、数列极限的性质 第二节 函数的极限 内容提要 1.自变量趋近无穷大时函数的极限； 2.自变量趋近有限值时函数的极限； 3.函数极限的性质。 教学要求 1．理解函数极限的定义 2．了解函数极限的性质； 3．了解函数的左、右极限及其与函数极限的关系。 例 求(1) (2)  (3) 第三节 无穷小量与无穷大量 内容提要 无穷小量与无穷大量。 教学要求 1.理解无穷小量与无穷大量的概念与性质; 2.了解无穷小量与无穷大量的关系。 一、 无穷小量 例1：当 时，下列变量中不是无穷小的是（ ） A B C D 注意: 四、无穷小与无穷大的关系 定义 设函数 y ? f (x) 在点 x0 的某个去心邻域内有定义， 如果当 x ? x0 (但 x ? x0 )时，函数 f (x) 趋于一个常数 A， 则称当 x ?x0时，f (x) 以 A 为极限，记作 否则称当x ? x0时， f (x) 的极限不存在。 称当 x ? x0 时，f (x) 的极限存在， 1、当 x ? x0 时，函数 f (x) 的极限 例 设 求 例设 则 =（ ） A、0 B 、 1 C、2 D、不存在 B 2、左极限与右极限 时的极限。 分析：函数 f (x) 在 x ? 0 附近的表达式不同，因而由函数的极限定义直接求极限是不行的。 引例： 求分段函数 当 为求此极限，我们引入 下面定义、定理： 对于这一类型的极限怎样求？ 定义 设函数 y ? f (x) 在点 x0 右侧的某个空心邻域内有定义，如果当 x ? x0 且 x ? x0时，函数 f (x) 趋于一个常数 A，则称当 x ? x0 时，f (x)的右极限是 A，记作 设函数 y ? f (x) 在点 x0 左侧的某个空心邻域内有定义，如果当 x ? x0 且 x ? x0 时，函数 f (x) 趋于一个常数 A ，则称当 x ? x0 时，f (x)的左极限是 A，记作 3、极限与左右极限有如下关系： 定理 例 设 解： 求 因为 所以 练习题 左极限存在, 右极限存在, 不存在. 解： 三、关于函数极限的定理 定理1(唯一性) 若 存在，则其极限是唯一的 定理2(有界性) 若 ，则存在常数M 0， δ0，使得当 时，有 定理3(保号性) 若 ，且 A 0 (或 A0)， 则存在常数δ0，使得当 时，有 推论一 若 ，且在 f (x) 的某去心邻域内 f (x) 0 ( f (x) 0)，则 A 0 (或 A0)， 当 定义1 例如 : 函数 当 时为无穷小; 函数 时为无穷小; 若函数 y ? f (x) 在自变量 x 的变化过程中以零为极限，则称在该变化过程中，f (x)为无穷小量，简称无穷小。 注：（1）无穷小量是以零为极限的变量。 （2）0是特殊的无穷小，很小的数不是无穷小。 B 二、无穷小的性质 定理1 有限个无穷小量的和仍然是无穷小量。 定理2 有界变量乘无穷小量仍然是无穷小量。 推论1：常数乘无穷小量仍然是无穷小量。推论2：无穷小量乘无穷小量仍然是无穷小量。 无穷多个无穷小的代数和不一定是无穷小 思考：无穷多个无穷小的代数和是否无穷小呢？ 因为 由无穷小的性质，得 又因为 是无穷小， ，即x??时， 是有界变量， ，所以 解： 三 、无穷大量 定义2 若在自变量 x的某个变化过程中，函 数 绝对值可以任意的大，则称在该变化过程中，f (x)为无穷大量，简称无穷大，记作 例如 当 x?0 时， 是无穷大； 当 x?? 时，x3，x ? ? 都是无穷大。 无穷大不是很大的数，它是描述函数的 变化趋势. 2. 函数为无穷大，必定无界.但反之不真 ! * * * 首页 上页