[北京大学高等数学GS1.3.ppt

1. 序列的概念 如可用渐近的方法求圆的面积？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积： 序列： 如果按照某一法则，使得对任何一个正整数n 有一个确定的 数xn ，则得到一列有次序的数 x1，x2，x3，… ，xn ，… 这一列有次序的数就叫做序列，记为{xn}，其中第n 项xn 叫做数 列的通项． 序列举例： 序列举例： 序列的几何意义： 2. 序列的极限 对无限接近的刻划： “当n无限增大时，xn无限接近于a” 等价于：当n无限增大 时，| xn-a |无限接近于0；或者说，要| xn-a |有多小，只要n足够 大， | xn-a |就能有多小． 极限的精确定义： 定义 如果序列{xn}与常数a 有下列关系：对于任意给定的 正数e(不论它多么小)，总存在正整数N ，使得对于n N 时的 一切xn，不等式 |xn-a |e 都成立，则称常数a 是序列{xn}的极限，或者称序列{xn}收敛 于a ，记为 序列极限的几何意义： 对于任意给定的正数e，总存在正整数N ，使得对于n N 时的一切xn，不等式 |xn-a |e 都成立．从几何上说，就是任意 给定a的e邻域(a- e , a+e)，总存在正整数N ，使得当n N 时， 所有的点xn都落在区间(a- e , a+e)内，而只有有限(至多只有 N个)在区间(a－ e , a+e)以外. 例 3 设|q |1，证明等比序列 1，q ，q2，… ，qn-1，… 的极限是0． 二、夹逼定理 三、收敛序列的性质 定理1(极限的唯一性) 序列{xn}不能收敛于两个不同的极限． 定理2(收敛序列的有界性) 如果序列{xn}收敛，那么序列{xn}一定有界． 定理5 (收敛序列与其子序列间的关系) 如果序列{xn}收敛于a ，那么它的任一子序列 也收敛，且极限也是a ． 五、一个重要极限 现在我们介绍一个重要的极限 定理 证 先证序列 有界.事实上,由牛顿二项式定理, Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. * §1．3 序列的极限 一、序列极限的定义 ⒉序列的极限 ⒊用定义证明极限举例 ⒈序列定义、 序列举例、 序列的几何意义 极限的定义、 极限的几何意义 极限的唯一性、 收敛序列的有界性 收敛序列与其子序列间的关系 二、夹逼定理 三、收敛序列的性质 极限的保序性 四、极限的四则运算 五、一个重要的极限 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. ．．．．．． ?1 r 四边形 a2 r 八边形 a3 r 十六边形 一个实际问题 ．．．．．． Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2，4，8，… ，2n ，… ， 通项为2n 通项为 1 2n 1，-1，1，… ，(-1)n+1，… ； 通项为(-1)n+1 通项为 通项为 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 序列{xn}可以看作自变量为正整数 n 的函数： xn=f (n)， 它的定义域是全体正整数． x1 x8 x7 x6 x5 x4 x3 x2 xn O x 序列与函数： x1=f(1) x2=f(