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经 济 数 学 下页 返回 上页 一、积分上限函数及其导数 二、牛顿-莱布尼茨公式 第三节 微积分基本公式 设函数 f (x) 在区间[a,b]上连续，对任意的 x 属于 [a,b]定积分 存在，此处 x 既表示积分上限，又表示积分变量.为避免混淆，我们用 t 表示积分变量.于是 显然， 是上限 x 的一个函数. 记 积分上限函数 一、积分上限函数及其导数 对自变量 x 的每一个确定值，另一个变量都有 唯一确定的值与之对应.（定积分） 是自变量为x的函数 证：给 x 以改变量 积分上限函数的性质 注：积分上限函数对积分上限的导数等于被积函数 在积分上限处的值。 求 例1.求下列函数的导数 解： 注 练习： 练习：求 例2.求 解：原极限 = 注 例3.求 在（-1，1）内的极值 解： 故 y(0)=0 为极小值 证 令 定理2（原函数存在定理） 定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. 二. 牛顿—莱布尼茨公式 定理3 如果f(x)在[a,b]上连续，F(x)是f(x)的一个 原函数，则 证明：因为 F(x)与 都是 f(x) 的原函数 即 令 x=a 代入上式，得 C= -F(a) , 故 再令 x=b 代入上式，得 所以 例5.计算下列定积分 解： 解： 例6. 计算 解： 原积分= 若被积函数含有绝对值，首先应讨论绝对值符号内的函数的符号，然后利用定积分对积分区间的可加性. 例7 设 , 求 . 解