极坐标---摆线.doc

設滾動圓的半徑為 a，固定圓的半徑為 ka，其中 k 是比 1 大的一個固定數。又設固定圓的圓心是原點 O，而滾動圓上的定點在出發時的位置是 A(ka,0)。設滾動圓到達某個位置時，其圓心為 J、與固定圓的切點為 I，而滾動圓上的定點移動到 P(x,y)。設以 為始邊、 為終邊的有向角為 t 弧度，我們以 t 為參數（見圖九）。 圖九  因為弧 IP 與弧 IA 的長度相等，所以，有向角 是 kt 弧度。過 P 與 J 分別作水平直線與鉛垂直線，則可就 t 的值所屬的各種範圍分別討論（例如：圖九是 的情形），而得  這就是內擺線的參數方程式。 若將上述情形中的定點換成與滾動圓的圓心相距為 d，且在出發時的坐標為 ((k-1)a+d,0)，則此定點在滾動過程中，所描繪曲線的參數方程式為 其次，若將圖九中的滾動圓改成與固定圓外切，則仿照上面的處理方法，即可得外擺線的參數方程式為 其中 k 表示固定圓與滾動圓的半徑之比，。同理，將定點改成與滾動圓圓心的距離為 d，且在出發時的坐標為 [(k+1)a-d,0]，則可得外次擺線的參數方程式為  上述四組參數方程式可合併成下述形式：  其中 或 -1，而 、 且 。當 ，上述參數方程式，依 d=a 或 分別表示內擺線或內次擺線；當 時，上述參數方程式，依 d=a 或 分別表示外擺線或外次擺線。在圖二中，設 A 點是滾動圓上的定點在出發時的位置。我們選取一個坐標系，使得 A 點為原點而且滾動圓在 x 軸上向右滾動。假設動圓滾動到某位置時，圓心為 O，O 點至 x 軸的垂足為 I，圓上的定點的位置為 P(x,y)，以 為始邊， 為終邊的有向角為 t 弧度，P 點至直線 OI 的垂足為 M。又設滾動圓的半徑為 a。 因為滾動圓上的定點已由A點移動到P點，而滾動圓與x軸的切點已由 A 點轉移到 I 點，所以，滾動圓上的弧 PI 滾過線段 ，亦即： = 弧 PI 的長 = at。於是，可得 上面的表示法就是擺線的參數方程式。請注意：當 時， ；當 時， 。不過， 與 兩式卻對所有 t 值都成立。我們甚至可讓參數 t 代表任意實數，如此，擺線成為可向兩邊無限延伸的週期曲線。x 坐標每經歷一段長度為 的區間，圖形就恢復原狀。擺線與底線相交的點都是尖點 (cusp)。 當參數 t 由 0 增至 時，擺線就是圖二中由 A 至 C 至 B 的部分，其中 ，這一部分圖形稱為擺線的一拱 (arch)。同理，t 由 2π 至 4π、由 4π 至 6π、……等所對應的圖形也都是一拱。 仿照前面的方法，我們也可求次擺線的參數方程式。假設一定點與滾動圓的圓心的距離為 d，底線是 x 軸，出發時定點的坐標為 (0,a-d)，其中 d 是滾動圓的半徑。當動圓滾到圖二所示的位置時，定點的位置在 上且與 O 點的距離為 d。由此可知其參數方程式為  習題：試根據上面參數方程式，說明長擺線 (da) 為什麼會與本身相交而形成迴圈（見圖一的下圖）。 在圖二中，當圓向前滾動時，P 點描繪出擺線，那麼 P 點在直線 OI 上的垂足 M 點會描繪出什麼圖形呢？1634年，Gilles Persone de Roberval（1602～1675年，法國人）考慮這條曲線，而利用它求出擺線的一拱與其底線間的面積。所以，後世將這條曲線稱為 Roberval 曲線。圖二中的虛線，就是 Roberval 曲線在擺線一拱內的部分，根據前一小節所討論的結果，不難發現 Roberval 曲線的方程式為 。 在圖二中， 的中點是 ，而當 時，Roberval 曲線上的點 對 的對稱點是 。因為此對稱點也在 Roberval 曲線上，所以，Robertval 曲線在 A 與 C 間的部分對於點 成對稱。（圖二中的 M 與 N 就是一對對稱點。）由此可知：在以 與 為鄰邊的矩形中，Roberval 曲線將此矩形分成面積相等的兩個區域。更進一步可得：Roberval 曲線與 AB 所圍區域的面積，等於以 與 為鄰邊的矩形面積的一半，此值等於 。 其次，我們討論擺線與 Roberval 曲線間的區域面積。此區域在 C 點的左、右兩側的面積顯然相等，所以，我們只須討論此區域左側部分的面積。圖二中以 為直徑的半圓，乃是滾動圓在出發時的左半部分，直線 PM 被此半圓截出一線段 。因為兩圓大小相等，而直線 PM 與兩圓圓心等距離，所以， = 。因為每一條水平直線在兩區域上所截出的線段都等長，所以，依據 Bonaventura Cavalieri（1598～1647年，義大利人）在1629年所提出的 Cavalieri 原理，這兩個區域的面積相等。因此，擺線與 Roberbval 曲線所圍的