极坐标的概念.doc

（一）极坐标概念 ??? 确定平面内的点的位置有各种方法，用一对实数确定平面内的点位置的方法称为直角坐标方法，因其方法简捷且应用广泛（如地球的经纬线和剧场中座位号）而成为解析几何中最主要的内容；用方向（角）和距离来确定平面内的点的位置是极坐标的基本思想。极坐标在工程中和军事上也有广泛应用。??? 1.1极坐标系定义 ?? 在平面上选一定点O，由O出发的一条射线OX，规定一个长度单位和角的正方向（通常以反时针旋转为正方向）合称一个极坐标系。其中O为极点，射线OX为极轴，由极径和极角两个量构成点的极坐标，一般记作（ρ，θ）。??? 1.2平面内的点与极坐标系的关系 ?? 平面内有一点P，|OP|用ρ表示，ρ称为P点的极径；OX到OP的角θ叫极角，P（ρ，θ）为极坐标。??? (1)有一组极坐标（ρ，θ）能在极坐标系中找唯一的点与其对应；??? (2)在极坐标系中有一个点P，则有无数组极坐标与其对应。??????? ①P点固定后，极角不固定。（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ）（k∈z）表示同一点坐标；??????? ②P点固定后，ρ的值可正、可负。ρ＞0时，极角的始边为OX轴，终边为线；ρ＜0，极轴始边为OX轴，终边为的反向延长线；规定：ρ=0时，极角为任意角，如（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ)及（-ρ，2kπ+π+θ)(k∈z)表示同一点。??????? ∴极坐标与极坐标平面内的点不一一对应。??? 例1.在极坐标系中，点P（ρ，θ）与Q（-ρ，2π-θ）的位置是（ ）??????? A.关于极轴所在直线对称 ???? B.关于极点对称??????? C.重合 ???????????????????? D.关于直线（ρ∈R）对称??? 分析：Q（-ρ，2π-θ）与（ρ,π-θ）表示同一点，它与点P（ρ，θ）关于直线（ρ∈R）（过极点而垂直于极轴的直线）对称。 故选D。 ??? 例2.在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是，，那么C的坐标可能是（ ）??? A. ??? B.?? C. ??? D.（3，π） ??? 分析：∵,极径相同，极角相差π，A、B以极点对称，又|AB|=4，△ABC为等边△，，，C对应极角为.??????? ∴或 故选B 。??? 例3.A、B两点的极坐标分别为A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，则??????? |AB|=______________________________。??? 分析：用余弦定理可得此结论可作为公式。 ??? 1.3极坐标与直角坐标的互化 ??? 取极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，在极坐标系中P(ρ，θ)，设在直角坐标系中P(x,y)??????? 则ρ2=x2+y2、、(注意角所在象限)??????? 此三组式子，即为极坐标与直角坐标的互化公式。??? 例1.将下列各极坐标方程化为直角坐标方程。??????? (1)???????????? (2)??????? (3)???? (4)ρ2=2cos2θ??? 　　解：(1) 得y=-x；??????? (2)ρsin2θ=2cosθ+2,ρ2sin2θ=2ρcosθ+2ρ,,(y2-2x)2=4(x2+y2)得y2=4(x+1)；??? (3)4ρ2+5ρ2cos2θ=36,4(x2+y2)+5x2=36,得x2+4y2=36；??? (4)ρ4=2ρ2(cos2θ-sin2θ),(x2+y2)=2x2-2y2??? 例2.椭圆在以原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中的方程为（ ）??? A. ???? B.???? C.???? D.??? 分析：,得 故选C 。 （二）极坐标方程的确定??? 2.1几种直线的极坐标方程??? (1)从极点O发出的一条射线（如图1），其极坐标方程为：θ=θ1（ρ＞0）；??? (2)过极点O的一条直线（），其极坐标方程为θ=θ1（ρ∈R）；??? (3)如图3? 过点（a,o）且垂直于极轴的直线的极坐标方程为：ρcosθ=a；??? (4)如图4? 过点（a,π)且垂直于极轴的直线的极坐标方程为：ρcosθ= -a； 如图1 如图2 如图3 如图4 ??? (5)如图5 ? 平行于极轴在极轴上方a个单位的直线的极坐标方程为：ρsinθ=a；??? (6)如图6 ? 平行于极轴且在极轴下方a个单位的直线的极坐标方程为：ρsinθ=-a；??? (7)如图7? 过点M（a,θ1）,且与极径OM垂直的直线的极坐标方程为：ρcos(θ-θ1)=a. 如图5 如图6 如图7 ??? 例1.过点且与极轴平行的直线的极坐标方程是（ ）??????? A.???