染色问题的计数方法.doc

染色问题的计数方法 河北张家口市第三中学 王潇 与染色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想,染色问题,解题方法技巧性强且灵活多变,故这类问题有利于培养学生的创新思维能力,分析问题与观察问题的能力,有利于开发学生的智力。 区域染色问题 根据乘法原理，对各个区域分步染色，这是处理这类问题的基本的方法。 要用四种颜色给四川、青藏、西藏、云南四省（区）的地图染色（图1）每一省（区）一种颜色，只要求相邻的省（区）不同色，则不同染色的方法有多少种？ 分析 先给四川染色有4种方法，再给青海染色有3种方法，接着给西藏染色有2种方法，最后给云南染色有2种方法，根据乘法原理，不同的染色方法共有4×3×2×2＝48种 根据共用了多少种颜色分类讨论，分别计算出各种情形的种数，再用加法原理求出不同年拾方法种数。 例2 （2003年全国高考题）如图2，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？ 分析 依题意至少要选用3种颜色。 当选用三种颜色时，区域2与4必须同色，区域3与5必须同色，有种。 当用四种颜色时，若区域2与4同色，则区域3与5不同色，有种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有种，故用四种颜色时共有2种。 由加法原理可知满足题意的着色方法共有＋2＝24＋2×24＝72种。 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同染色方法数。 例3 用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的四个小方格内（图3），每格涂一种颜色，相邻的两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？ （1）四格涂不同的颜色，方法数为； （2）有且仅有两格涂相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同颜色，涂法种数为2； 两组对角小方格涂相同颜色，涂法种数为。因此，所求的涂法种数为＋2＋＝260种 根据相间区域使用颜色的种类分类讨论 例4 如图4，一个六边形的6个区域A、B、C、D、E、F，现给这6个区域着色，要求同一区域染同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一颜色，现有 4种不同的颜色可供选择，则有多少种不同的着色方法。 解： （1）当相间区域A、C、E着同一种颜色时，有4种着色方法，此时，B、D、F各有3种着色方法故有4×3×3×3＝108种方法 （2）当相间区域A、C、E着两种不同颜色时，有种着色方法，此时B、D、F有3×2×2种着色方法，故共有×3×2×2＝432种着色方法。 当相间区域A、C、E着三种不同颜色时，有种着色方法，此时B、D、F各有2种着色方法，此时共有×2×2×2＝192种方法。 故总计有108＋432＋192＝732种方法 二 点染色问题 点染色问题，要注意对各点依次染色，主要方法有:（1）根据共用了多少种颜色分类讨论；（2）根据相对顶点是否同色分类讨论。 将一个四棱锥S－ABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？ 解法1 满足题设条件的染色至少要用三种颜色 若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A、B、C、D四点，，此时只能A与C，B与D分别同色，故有＝60种方法。 若恰用四种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A与B，由于A、B颜色可以交换，故有种染法；再从余下的两种颜色种任选一种染D或C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有＝240中方法。 若恰用五种颜色，有＝120种染法。综上，满足题意的染色方法数为60＋240＋120＝420种。 解法2 设想染色按S－A－B－C－D的顺序进行，对S、A、B染色，有5×4×3＝60种染色方法。由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论： C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D与A、C、S不同色，有3种选择；C与A不同色时，C有2种选择的颜色，D有2种颜色可供选择，从而对C、D染色有1×3＋2×2＝7种染色方法。 由乘法原理，总的染色方法数是60×7＝420种 评注 图中的连接状况是本质条件，而是否空间图形则无关紧要，试看下面的两个问题，尽管与例5表述方式不同，但具有相同的数学模型，所以都可以转化为例5来解决。您不妨一试。 用五种颜色给图中的5个车站的候车牌A、B、C、D、E染色，要求相邻两个车站间的候车牌的颜色不同，有多少