柯西不等式柯西不等式.doc

柯西不等式1 ☆学习目标： 1. 认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义; 2. 会证明二维柯西不等式及向量形式 ?知识情景： 1. 定理1 如果, 那么. 当且仅当时, 等号成立.时，由基本不等式： 2. 如果, 那么， 另一方面，有 ?新知建构： 1. 柯西不等式：若，则. 当且仅当 时, 等号成立. 此即二维形式的柯西不等式. 当且仅当时, 等号成立. 而的结构特征 那么， 证：设， ∵ 0 恒成立. ∴ . 得证. 证法3（向量法）设向量，， 则，. ∵ ，且，有. ∴ . 得证. 二维若，则； 变式20. 若，则若则二维 例4 . 选修4-5 . 1．A 2、B 3．3 4． 5． 6、 求函数的最大值？； 7、已知，求的最小值. 8、若，，求证：. 9、已知，且，则的最小值. 10、若，求证：. 11、 已知点及直线 用柯西不等式推导点到直线的距离公式 12、已知求证：。 13、解方程 练习 6．分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演 → 变式： → 推广： 7．（凑配法）. 8．分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造） 要点：… 9．要点：…. → 其它证法 10、要点： 11、设点是直线上的任意一点， 则 （1） 点两点间的距离: （2） 的最小值就是点到直线的距离， ∵ 由（1）（2）得： 即 （3） 当且仅当 （3）式取等号 即点到直线的距离公式即 12. 证明：由柯西不等式，得 当且仅当时，上式取等号， 于是 。 13.解： = 由柯西不等式知 即 当上式取等号时有成立，即 （无实根） 或，即 ，经检验，原方程的根为 柯西不等式2 ☆学习目标： 1. 熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的证明; 2. 会应用柯西不等式解决函数最值、方程、不等式，等一些问题 ?知识情景：1. 柯西主要贡献简介： Cauchy），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定 了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值 定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等. 2.二维形式的柯西不等式： 若， 则 . 当且仅当 时, 等号成立.若，则； 变式20. 若，则为任意实数，则： 3. 一般形式柯西不等式：设为大于1的自然数，(1,2,…,)，则： 当且仅当 时, 等号成立. (若时，约定，1,2,…,). 则： . 当且