微积分 第1章 函数 重点与要点汇总_图文.pptVIP

第一章 函数 第一章 函数 * 第一章 函数 § 1.1 集合 § 1.2 实数集 § 1.3 函数 第一章 函数 * 一、集合的概念 §1.1 集合 定义 集合: 具有某种属性的事物的全体 / 一些确定对象的汇总. 元素: 构成集合的事物或对象. 例. 2) 全体偶数 1) x2 - 5x + 6 = 0 的根 ； 注: 2. 集合的表示: 列举法、描述法、文氏图； 例. 为正整数 1. 集合的记号: 大小写约定, 全集U与空集 , 与 第一章 函数 * 2. 集合的运算：并(∪)、交(∩)、差(－)、逆( — , 又称补)； 二、集合的关系与运算 1. 集合的关系：包含( ) 、相等( = )； 集合的运算律：交换律、结合律、分配律、德·摩根律 德·摩根律： 了解 第一章 函数 * 三、集合的笛卡尔乘积 定义 集合 A, B 的笛卡尔乘积为 例. 第一章 函数 * 一、实数 R (Real) 与数轴 §1.2 实数集 1. 实数的构成 ：有理数 Q (Quotient) ; 无理数. 2. 数轴：三要素(原点、正方向、单位长度) 3. 全体实数与数轴上的点一一对应. 有限小数、无限循环小数；无限不循环小数 1 2 O x 微积分讨论的数 仅限于 实数！ 第一章 函数 * 二、区间 称作开区间 称作闭区间 称作半开半闭区间 有限区间 无限区间 第一章 函数 * 三、邻域 称作 a 的δ邻域 称作 a 的去心δ邻域 称作 a 的右δ邻域 称作 a 的左δ邻域 称作 …… 第一章 函数 * 四、绝对值及其性质: 1. 含义: | x |为 x 与原点的距离，| x-y |为 x 与 y 的距离. 注: 2. 性质: (三角不等式*) —— 和的绝对值 ≤ 绝对值之和、≥ 绝对值之差 第一章 函数 * 定义 设 D 为非空数集，若存在某对应法则 f 将每一 x∈D 对应至唯一的实数 y ，则称 f 为 D 上的函数，记作 一、函数的概念 §1.3 函数 (x:自变量; y: 因变量; D: 定义域; Z(f)={y| y=f(x),x∈D}: 值域) 注: 2. 函数的要素: 法则、定义域（默认为存在域）. 1. 函数的表示: 表格法、图形法、解析法； 例. 辨析各组函数异同： 第一章 函数 * 注: 4. 几个特殊函数： (1) 符号函数 1 -1 x y o (2) 取整函数 y=[x]，[x]表示不超过x的最大整数 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -3 x y o (3) 狄利克雷函数（了解） x y o 1 第一章 函数 * 例：某化肥厂生产某产品 1000吨，每吨定价为130元，销售量在700吨以内时，按原价出售，超过700吨时，超过的部分打九折出售，试将销售总收益与总销售量的函数关系用数学表达式表出。 建立函数关系的基本步骤： 明确问题中的因变量与自变量，并以适当记号表示； 根据题意建立等式，从而得到函数关系； 确定函数的定义域。 第一章 函数 * 二、函数的性质 1. 有界性 ：设 f 在 D 上有定义，若存在数 M 使 则称 f 在 D 上有上界 (有下界)， 若上下界都有则称之有界. 2. 单调性 ：设 f 在 D 上有定义，若（设x1, x2∈D） 则称 f 在 D 上单调递增 (不减)， 类似可定义单调递减(不增). 了解 第一章 函数 * 3. 奇偶性 ：设 f 在 D 上有定义，若 则称 f 是 D 上的偶函数 (奇函数). 4. 周期性 ：设 f 在 D 上有定义，若存在 T 0 使得 则称 f 是 D 上周期函数. (周期: 满足此条件的最小的T) 注: 偶函数图像关于 y 轴对称，奇函数图像关于原点对称. 注: 若 f(x) 以T为周期，则 f(ax) (a0) 以 T/a 为周期. 例. 求sin2x、tan(x/2)的周期 第一章 函数 * 三、复合函数 定义 设 u=g(x), y=f(u), 若 则称 为 f 与 g 的复合函数. 例: 3. 已知 f(x) = x2，求 f(1/x) (x≠0) 与 f[f(x)]. 4. 已知 求 f(x+3) 及其定义域. 1. 已知