微积分3-3泰勒定理课件_图文.pptVIP

微积分讲课提纲 微积分（I） 浙江大学理学院 讲课人：朱静芬 E-mail:jfzhu@zju.edu.cn * * 第三节 泰勒定理 第三章 微分中值定理及导数的应用 一. 泰勒定理 二. 几个常用函数的麦克劳林公式 三. 带有佩亚诺余项的泰勒公式 四. 泰勒公式的应用 泰勒中值定理 泰勒中值定理的产生： 微 分 带皮亚诺余项的 泰勒公式 拉格朗日中值定理 泰勒公式 带拉格朗日余项的 泰勒公式 还有带其它余项的 多项式是一类很重要的函数，其明显特点是结构 简单，因此无论是数值计算还是理论分析都比较方便 从计算的角度看，只须加、减、乘三种运算，连除法都不需要，这是其它函数所不具备的优点 。 用多项式近似地表示给定函数的问题不仅具有实 用价值，而且更具有理论价值。一般的函数不好处理 先用较好处理的多项式近似替代，然后通过某种极限手续再过渡到一般的函数。 “以直代曲”就是用一次多项式去近似给定函数 一、泰勒定理 问题的提出 （如下图） 不足: 1、精确度不高； 2、误差不能估计。 问题: 分析: 2.若有相同的切线 3.若弯曲方向相同 近似程度越来越好 1.若在 点相交 泰勒(Taylor)定理 证明: 拉格朗日形式的余项 注意: 麦克劳林(Maclaurin)公式 e 的近似计算公式 例 二. 几个常用函数的麦克劳林公式 解： 其中, 展开式的具体形式与 n 的奇偶性有关. 例 解： 其中, 例 解： 例 解： 例 解： 三. 带有佩亚诺余项的泰勒公式 带皮亚诺余项的马克劳林公式 常用函数的麦克劳林公式 ) ( )! 1 2 ( ) 1 ( ! 5 ! 3 sin 2 2 1 2 5 3 + + + + - + - + - = n n n x o n x x x x x L ) ( )! 2 ( ) 1 ( ! 6 ! 4 ! 2 1 cos 2 2 6 4 2 n n n x o n x x x x x + - + + - + - = L ) ( 1 ) 1 ( 3 2 ) 1 ln( 1 1 3 2 + + + + - + - + - = + n n n x o n x x x x x L ) ( 1 1 1 2 n n x o x x x x + + + + + = + L ) ( ! ) 1 ( ) 1 ( ! 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 n n m x o x n n m m m x m m mx x + + - - + + - + + = + L L 因此，利用带有佩亚诺余项的泰勒公式可以求出某些函数的极限。 则： 例 利用带有佩亚若型余项的麦克劳林公式，求极限 解 由于分式的分母 所以，用带有佩亚若型余项的三阶麦克劳林公式，即 解 例：求极限 四. 泰勒公式的应用 １、计算函数的近似值 ２、用多项式逼近函数 ４、证明某些不等式 ３、证明在某条件下　的存在性 * *