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第1章 矢量分析与场论 1.1 矢量及其代数运算 1.2 圆柱坐标系与球坐标系 1.3 矢量场 1.4 标量场 1.5 亥姆霍兹定理 习 题 1.1 矢量及其代数运算 1.1.1 标量和矢量 电磁场中遇到的绝大多数物理量， 能够容易地区分为标量（Scalar）和矢量(Vector)。 一个仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量， 例如， 电压、温度、时间、质量、电荷等。 实际上， 所有实数都是标量。 一个有大小和方向的物理量称为矢量， 电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。 例如， 矢量A可以表示成 ? A=aA （1-1-1） 其中， A是矢量A的大小; a代表矢量A的方向， a=A/A， 其大小等于1。 一个大小为零的矢量称为空矢（Null Vector）或零矢（Zero Vector）， 一个大小为1的矢量称为单位矢量（Unit Vector）。 在直角坐标系中， 用单位矢量ax、 ay、 az表征矢量分别沿x、y、 z轴分量的方向。 ?空间的一点P(X,Y,Z)能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定， 如图1-1所示。 从原点指向点P的矢量r称为位置矢量(Position Vector)， 它在直角坐标系中表示为 ?r=axX+ayY+azZ （1-1-2） 式中， X、 Y、 Z是位置矢量r在x、 y、 z轴上的投影。 任一矢量A在三维正交坐标系中都可以给出其三个分量。 例如， 在直角坐标系中， 矢量A的三个分量分别是Ax、Ay、Az， 利用三个单位矢量ax、ay、 az 可以将矢量A表示成： ?A=axAx+ayAy+azAz （1-1-3） 矢量A的大小为A： A=(A2x+A2y+A2z)1/2 （1-1-4） 1.1.2 矢量的代数运算 1. 矢量的加法和减法 任意两个矢量A与B相加等于两个矢量对应分量相加， 它们的和仍然为矢量， 即  C=A+B=ax(Ax+Bx)+ay(Ay+By)+az(Az+Bz) (1-1-5) 任意两个矢量A与B的差等于将其中的一个矢量变号后再相加， 即 ?D=A-B=A+(-B)=ax(Ax-Bx)+ay(Ay-By)+az(Az-Bz) (1-1-6) 2. 矢量的乘积 矢量的乘积包括标量积和矢量积。 1） 标量积 ?任意两个矢量A与B的标量积(Scalar Product)是一个标量， 它等于两个矢量的大小与它们夹角的余弦之乘积， 如图1-2所示， 记为 ?A·B=AB cosθ (1-1-7) 例如， 直角坐标系中的单位矢量有下列关系式： ax·ay=ay·az= ax·az=0 ? ax·ax=ay·ay=az·az=1 任意两矢量的标量积， 用矢量的三个分量表示为 ?A·B=AxBx+AyBy+AzBz (1-1-9) ? 标量积服从交换律和分配律， 即 ? A·B=B·A (1-1-10) A·(B+C)=A·B+A·C (1-1-11) 2） 矢量积 任意两个矢量A与B的矢量积（Vector Product）是一个矢量， 矢量积的大小等于两个矢量的大小与它们夹角的正弦之乘积， 其方向垂直于矢量A与B组成的平面， 如图1-3所示， 记为 C=A×B=anAB sinθ