第2章 b 随机变量的函数的分布.pptx

§2.8多维随机变量函数的分布问题：已知二维随机变量 (X, Y) 的分布，如何求出 Z=g (X, Y)的分布？为某种目的将试验数据“加工”而得的量—统计量2.8.1 多维离散随机变量函数的分布(1) 设(X1, X2, ……, Xn) 是n维离散随机变量， 则 Z = g(X1, ……, Xn) 是一维离散随机变量.(2) 多维离散随机变量函数的分布是容易求的： i) 对(X1, X2, ……, Xn)的各种可能取值对， 写出 Z 相应的取值. ii) 对Z的 相同的取值，合并其对应的概率.概率思维的树立P77例4.1例4.2例4.32.8.2 连续场合的卷积公式定理3.3.1 设连续随机变量X与Y 独立， 则 Z=X+ Y 的密度函数为离散场合的卷积公式设离散随机变量 X 与 Y 独立，则 Z=X+ Y 的分布列为卷积公式的应用例3.3.2 X与Y 是独立同分布的标准正态变 量，求 Z = X+ Y 的分布.解：所以 Z = X+ Y ? N(0, 2).进一步的结论见后分布的可加性若同一类分布的独立随机变量和的分布仍是此类分布，则称此类分布具有可加性.二项分布的可加性若 X ? b(n1, p)，Y ? b(n2, p)，且独立，则Z = X+ Y ? b(n1+n2, p).注意：若 Xi ? b(1, p)，且独立，则 Z = X1 + X2 + …… + Xn ? b(n, p).泊松分布的可加性若 X ? P(?1) ，Y ? P(?2)，且独立，则Z = X+ Y ? P(?1+?2).注意： X ?Y 不服从泊松分布.正态分布的可加性若 X ? N( )，Y ? N( ) ，且独立，则 Z = X ? Y ? N( ).注意： X ?Y 不服从 N( ). X ?Y ? N( ).独立正态变量的线性组合仍为正态变量. (见下)独立正态变量的线性组合仍为正态变量Xi ~ N(?i, ?i2),i =1, 2, ... n. 且 Xi 间相互独立, 实数 a1, a2, ..., an 不全为零, 则伽玛分布的可加性若 X ? Ga(?1, ?)，Y ? Ga(?2, ?) ，且独立，则 Z = X + Y ? Ga(?1+?2, ? ).注意： X ?Y 不服从 Ga(?1??2, ? ).?2 分布的可加性且独立，若 X ? ?2( n1 )，Y ? ?2( n2 ) ，则 Z = X + Y ? ?2( n1+n2).注意： (1) X ?Y 不服从 ?2 分布. (2) 若 Xi ? N(0, 1)，且独立，则 Z =? ?2( n ).注 意 点 (1)独立的0-1分布随机变量之和服从二项分布. (2)独立的指数分布随机变量之和服从伽玛分布.例3.3.3 设 X 与 Y 独立，X～U(0, 1), Y～Exp(1). 试求 Z = X+Y 的密度函数.解:用卷积公式：被积函数的非零区域为：0x1 且 z?x0(见下图)zz = x1x1因此有pZ(z) = 0 ;(1) z 0 时pZ(z) =(2) 0 z 1 时(3) 1 z 时pZ(z) =2.8.3 变量变换法已知 (X, Y) 的分布， (X, Y) 的函数 求 (U, V) 的分布.变量变换法的具体步骤若有连续偏导、存在反函数则 (U, V) 的联合密度为其中J为变换的雅可比行列式：增补变量法若要求 U = g1(X, Y) 的密度 pU(u) ，可增补一个变量V = g2(X, Y) ，先用变量变换法求出 (U, V)的联合密度pUV(u, v)，然后再由联合密度pUV(u, v)，去求出边际密度pU(u)用此方法可以求出卷积公式、积的公式、商的公式 ？2.8.4 两个随机变量的函数的分布例1：设X和Y是相互独立的标准正态随机变量，求 的概率密度。 解：由卷积公式：一般：设X,Y相互独立，xx=z-1x=zz021 例2：X,Y相互独立，同时服从[0,1]上的均匀分布，求 的概率密度。 解：根据卷积公式：易知仅当参考图得： 例3：设X,Y相互独立、服从相同的指数分布，概率密度 为： 求 的概率密度。 解：根据卷积公式：由此可知：一般的，可以证明：若X,Y相互独立，且分别服从参数为X,Y的概率密度分别为证明：这是例3的推广，由卷积公式 推广到n个相互独立的随机变量的情况 设X1,X2,…,Xn是n个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为： 则： L1L1L2L1L2YXL2XXYY 例5：设系统L由两个