案例展示轴对称.doc

案例展示 【案例信息】 案例名称：北京市义务教育课程标准实验教科书八年级上册第十四章《轴对称变换在几何证明中的应用》 授课教师：张迎春 （北京市 101 中学 ） 【教学设计思路】 在讲这节课之前，学生们已经学习了全等和轴对称的相关知识，学生能够在简单图形中证明线段或角的等与不等的关系，但是在解决复杂的几何图形问题时，还存在一定困难。尤其是对于如何添加辅助线有时会感到无从下手。实际上，我们在研究线段或角的关系时，往往通过证明全等来解决，而利用图形变换构造全等是初中阶段要求学生掌握的重要手段之一，针对学生已学过轴对称变换，并对轴对称图形有了一定的了解，所以我想通过这节课的学习，引导学生体会轴对称变换是构造全等图形的重要依据，提高学生解决几何问题的能力，进一步拓展学生的几何思维和识图能力 。 本节课的设计，我采取由浅入深，层层递进的方式。通过一个基本问题，逐步改变条件，增加难度，让学生经历操作、实验、发现、论证、概括等数学活动，感受数学活动充满探索性和创造性，激发学生乐于探究的热情。教学中第一个问题是基础，通过这个问题让学生初步体会可以通过轴对称变换，合理添加辅助线，构造全等解决问题；第二个问题是第一个问题的变式，帮助学生应用前面获得的经验解决较深层次的问题；第三个问题提高了一定难度，激发学生的潜质，引发学生深思，有挑战性，运用两次轴对称变换，灵活应用新学的知识。 【教学设计】 一、教学目标 1. 通过问题情景，引导学生思考、探索、交流 ，领悟如何 利用轴对称变换在几何证明中合理添加辅助线；体会从不同角度去看待问题，用运动的观点去研究问题，在与他人交流的过程中，能合理清晰地表达自己的思维过程；培养学生的观察能力、操作能力和合作能力。 2. 在和谐的教学氛围中，让学生经历操作、实验、发现、合作、确认等数学活动，感受数学活动充满探索性和创造性，激发学生乐于探究的热情。 二、教学重点 利用轴对称变换在几何证明中合理添加辅助线。 三、教学难点 灵活利用轴对称变换的特性，合理添加辅助线。 四、教学方法 问题启发式和小组讨论结合，计算机辅助教学。 五、教学过程 1. 复习提问： 前面我们学习了轴对称和轴对称图形，同学们回忆一下，我们学过哪些图形是轴对称图形 ? （线段、角、等腰三角形、正方形等等） 今天让我们一起来研究角这个轴对称图形，在 ∠ MAN 中，AO 平分 ∠ MAN ，可得∠ 1= ∠ 2 ；角平分线 AO 所在直线是∠ MAN 的对称轴，在角的一边 AN 上任找一点 C ，我们在另一边上必能找到其对称点 C ’，对称点连线 CC ’和 AO 有什么关系？ 对应线段 AC ’=AC ，在 AO 上任找一点 D ，连结 CD ，C ’D ，CD=C ’D ，△ ACD 与 △ AC ’D 关于 AO 轴对称，所以 △ ACD 与 △A C ’D 全等，理由是成轴对称的两个图形全等。 下面，请同学们看这样一个问题，还是 在 ∠ MAN 中，AO 平分 ∠ MAN ，延长 CD 交 AM 于Ｂ，得到 △ ABC。 2. 问题情景： 探究： 如图，在 △ ABC 中 ，AD 是∠ BAC 的平分线， 如果增加条件 ∠ C = 2 ∠ B ，看看线段之间有什么关系？ ? ? ???????????????????????????????????方法 1?????????????????????? 方法 2??? 试着让学生自己找出 A B =A C + C D 的结论，并证明。（大胆猜想，小心求证） 证明：在 A B 上截取 AE=A C ， 连结 DE ∵ AD 平分∠ BAC ， ∴∠ E AD = ∠ C AD 在△ A E D 和△ A C D 中 ，A E =A C ，∠ EAD = ∠ CAD ， AD = AD （ 公共边 ） ∴△ A E D ≌△ A C D (SAS) ∴ ED=CD ，∠ AED = ∠ C ∵ ∠ C =2 ∠ B , ∴ ∠ AED =2 ∠ B 又∵ ∠ AED 是 △ B ED 的外角 ，∴ ∠ AED = ∠ B + ∠ EDB =2 ∠ B 即 ∠ ED B = ∠ B ,∴ ED=E B ∴ EB = CD ∵ AB=AE+EB ，∴ A B =A C + C D 进一步追问，要证明 A B =A C + C D ，还有没有其他的解决办法？ 通过问题的解决，引导学生思考为什么要这样添加辅助线，体会轴对称变换在解决这个问题时发挥的作用。 （如果利用 ∠ C =2 ∠ B 的条件，可作 ∠ C 的角平分线，思考） 我们在研究几何问题的过程中，经常会遇到线段（或角）之间的等或不等关系问题，往往通过图形的全等来解