第2章_数值计算的理论基础.ppt

* 计 算 方 法 课 件 * 结束 第2章 数值计算的理论基础 距离、内积、范数是泛函分析的基本概念，是研究数值方法的重要工具。 §2.1 内积 内积定义：设两个n维向量 令 称[x, y]为向量x与y的内积。它是向量的一种运算。 向量x与y都是列向量时，内积也可写成： [x, y] = xTy 内积具有下列性质: * 结束 　　在实数域中，数的大小和两个数之间的距离是通过绝对值来度量的。在解析几何中，向量的大小和两个向量之差的大小是“长度”和“距离”的概念来度量的。为了对矩阵运算进行数值分析，我们需要对向量和矩阵的“大小”引进某种度量。范数是绝对值概念的自然推广。 §2.2 向量和矩阵范数 范数是对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维和三维向量长度概念的一种推广. 数域:数的集合,对加法和乘法封闭 线性空间:可简化为向量的集合,对向量的加法和数量乘法封闭,也称为向量空间 有理数、实数、复数数域 ? 2.2.1 向量范数 ( vector norms ) 定义1.5　如果向量 的任意向量,向量范数‖?‖是定义在Rn上的实值函数 满足： （1）正定性： ，且 当且仅当x=0； （2）齐次性：对任意实数 ，都有 （3）三角不等式：对任意 x，y ，都有 则称 为 上的一个向量范数。 容易看出，实数的绝对值，复数的模，三维向量的模都满足以上三条，n维向量的范数概念是它们的自然推广. 常使用的向量范数有三种，设x=(x1,x2,…,xn)T 几种常用的向量范数：设X=(x1,x2,...,xn)T （1）向量的1—范数： （2）向量的2—范数： （3）向量的∞—范数： （4）向量的p—范数： (1≤p≤∞) 例 ：设 x=(1 , -4, 0, 2)T 求它的向量范数 =7 =4 注：前三种范数都是p—范数的特殊情况。其中 定理3.4 若||X||p与||X||q为Rn上任意两种范数，则存在C1，C20，使得对任意X∈Rn，都有： C1 ||X||p≤ ||X||q ≤C2 ||X||p 注：同样有下列结论：存在C3,C40 使得： C3 ||X||q≤ ||X||p ≤C4 ||X||q 向量范数的等价性 注：上述性质，称为向量范数的等价性。也就是说， Rn上任意两种范数都是等价的。在讨论向量序列的收敛性时要用到向量范数的等价性。 定理3.3 设f(X)=||X||为Rn上的任一向量范数,则f(X)为X的 分量x1,x2,…,xn的连续函数. 向量范数的连续性: 结束 * 向量的1、2、 范数具有如下等价关系： 向量序列的收敛问题 定义：假定给定了Rn空间中的向量序列X(1),X(2),...,X(k),...，简记为{X(k)}，其中X(k)=(x1(k),x2(k),...,xn(k))T，若X(k)的每一个分量xi(k)都存在极限xi，即 则称向量X= (x1，x2，...，xn)T为向量序列{X(k)}的极限，或者说向量序列{X(k)}收敛于向量X，记为 x1 x2 xn ………… (k→∞) (k→∞) 例：设 解: 显然，当k→∞时， 注：显然有： 定理3.5 在空间Rn中，向量序列{X(k)}收敛于向量X的充要条件是对X的任意范数||·||，有： 结束 * 2.2.2 矩阵范数 从向量范数出发,可以定义矩阵的范数. 定义3 设A是n×n矩阵,定义 定义2 如果 称向量序列x (k)收敛于向量x. 定理1 向量序列x (k)收敛于向量x的充要条件是: 为矩阵A的范数. 这样定义的范数有如下性质: 结束 * (1) ‖A‖≥0,并且,当且仅当A是零矩阵时, ‖A‖ =0 (2) ‖kA‖= |k|× ‖A‖ (3)两个同阶方阵A,B,有‖A+B‖≤‖A‖+‖B‖ (4)A是n×n矩阵,x是n维向量,有‖Ax‖≤‖A‖×‖x‖ (5)A,B都是n×n矩阵,有‖AB‖≤‖A‖×‖B‖ 矩阵范数最常用的有以下三种: （λ1 是ATA的最大特征值） ——列范数 ——2-范数(谱) ——行范数 它们分别与向量的三种范数对应,即用一种向量范数可定义相应的矩阵范数. 定理2 Rn空间上的范数等价.即对任意给定的两种范数 ‖? ‖α ‖? ‖β有下列关系: