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* 作业 P227 习题 8.1 1(2)(4)(6)(8). 4. P236 习题 8.2 1(2)(4)(6). 第二十一讲 简单常微分方程(一) 一、微分方程的基本概念 二、一阶常微分方程 十七世纪末，力学、天文学、物理 学及工程技术提出大量需要寻求函数 关系的问题。在这些问题中，函数关 系不能直接写出来，而要根据具体问 题的条件和某些物理定律，首先得到 一个或几个含有未知函数的导数的关 系式，即微分方程，然后由微分方程 和某些已知条件把未知函数求出来。 一、微分方程的基本概念 重力 切向分力 [解] 根据牛顿第二定律,得到 注意到 从而有 微分方程 初始条件 定解条件 定解问题 定义1: 含有未知函数的导数的方程 称为微分方程. 未知函数是一元函数,含有未知函数的导数的微分方程称为常微分方程. 未知函数是多元函数,含有未知函数的偏导数的微分方程称为偏微分方程. 例如 例如 二阶 未知函数的导数的最高阶数称为 微分方程的阶. 定义2: ( 微分方程的阶 ) 未知函数及其各阶导数都是一次整式的微分方程称为线性微分方程. 定义3: ( 线性与非线性) 定义4: ( 微分方程的解) 称为微分方程的通解. 微分方程的通解： 微分方程的特解： 一个常微分方程的满足定解条件 的解称为微分方程的特解 通解有时也写成隐式形式 称为微分方程的通积分 有n个 定解条件 定义5: ( 积分曲线 与积分曲线族) 积分曲线族 二、 一阶常微分方程的 初等积分法 所谓初等解法,就是用不定积分的方法求解常微分方程. 初等解法只适用于若干非常简单的一阶常微分方程,以及某些特殊类型的二阶常微分方程. (一) 变量可分离型 (三) 一阶线性方程 (二) 可化为可分离变量 (五) 全微分方程 (四) 伯努利(Bernoulli)方程 (六) 积分因子 两边积分 通解 分离变量 这两个方程的共同特点 是变量可分离型 (一) 分离变量法 (1) [解] 两边积分 分离变量 即 (分离变量时,这个解被丢掉了!) 于是得到方程 通解 (2) [解] 分离变量 两端积分, 得 通解 奇异解 (二) 可化为可分离变量 这两个方程的共同特点是什麽 ? 可化为 齐次型方程 求解方法 这是什麽方程？ 可分离变量方程！ 分离变量 两端积分 取指数并且脱去绝对值 由此又得到 通解 两端积分 得 通解 (三) 一阶线性微分方程 * * * * *
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