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梯形常见辅助线梯形常见辅助线
梯形中常见的几种辅助线作法
一、跟腰相关的辅助线
(1)在梯形内部平移一腰
例1(如图1)已知在梯形ABCD中,AD//BC,BA=DC。求证:B=C
(2)梯形内平移两腰
例3(如图3)在梯形ABCD中,AD∥BC,AD﹤BC,E、F分别为AD、BC的中点,且EF⊥BC,试说明∠B=∠C
(3)延长两腰
例4(如图4)在梯形ABCD中,∠B=∠C,AD∥BC。求证:梯形ABCD是等腰梯形。
练习、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,E为CD的中点,EF∥AB交于点F。
(1)求证:BF=AD+CF。
(2)当AD=1,BC=7,且BE平分∠ABC时,求EF的长。
二、作梯形的高,梯形转化成矩形与直角三角形
例1:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD=5,BC=11;求梯形ABCD的面积.
例2:已知:梯形ABCD中,∠ABC=90°,∠C=45°,BE⊥CD,AD=1,CD= ,求:BE
练习、如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=AD=6,DE⊥DC交AB于E,DF平分∠EDC交BC于F,连结EF.
(1)证明:EF=CF;
(2)当AE:AD=时,求EF的长.
三、利用中点
()连接梯形一顶点及一腰的中点。
例在梯形ABCD中,AD∥BC, E、F分别为AB、CD的中点,求证:EF=(AD+BC)
()过一腰的中点作另一腰的平行线。
例在梯形ABCD中,AD∥BC, E为CD的中点,求证:S=
(3)作中位线
例在梯形ABCD中,AB∥CD,M为AD的中点,AB+CD=BC求证:BM⊥CM
练习、如图1所示,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,∠DCB=75o,以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上.
(1)求∠AED的度数;
(2)求证:AB=BC;
(3)如图2所示,若F为线段CD上一点,∠FBC=30o.求 的值.
四、平移对角线,将梯形转化成:平行四边形、三角形.
A、把上下底之和,两对角线转移到同一个三角形BDE中
B、△ABD与△CDE面积相等 S梯形ABCD=S△BDE
C、 BD⊥AC推出BD⊥DE得到直角三角形BDE
例1:如图所示,在梯形ABCD中,上底AD=1cm,对角线BD⊥AC,且BD=3cm,AC=4cm. 求下底BC以及梯形的高。
练习、如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,对角线AC⊥BD,垂足为O.若CD=3,AB=5,则AC的长为
A. B.4 C. D.
课堂练习:
1. 如图所示,AB∥CD,AE⊥DC,AE=12,BD=20,AC=15,则梯形ABCD的面积为( )
A. 130 B. 140 C. 150 D. 160
2.如图,梯形ABCD中,AD∥BC, 点E在BC上,AE=BE,点F是CD的中点,且AF⊥AB,若AD=2.7,AF=4,AB=6,则CE的长为( )
A.2 B.2-1 C.2.5 D.2.3
3.如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,BC=3,CD=1. E是AD的中点,求证:CE⊥BE.
4.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,(1)若E是AB的中点,且AD+BC=CD,则DE与CE有何位置关系?(2)E是∠ADC与∠BCD的角平分线的交点,则DE与CE有何位置关系?
5.如图所示,在等腰梯形ABCD中,已知AD∥BC,对角线AC与BD互相垂直,且AD=30,BC=70,求BD的长.
6. 如图所示,已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,AD+BC=
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