棋盘中的数学(二).doc

　 ——棋盘覆盖的问题 　　有这样一道竞赛题： 　　例1 一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？ 　　（A）3×4 （B）3×5 （C）4×4 　　（D）4×5 （E）6×3 　　解：通过试验，很容易看到，应选择答案（B）． 　　这类问题，容易更加一般化，即用2×1的方格骨牌去覆盖一个m×n的方格棋盘的问题． 　　定理1： m×n棋盘能被2×1骨牌覆盖的充分且必要的条件是m、n中至少有一个是偶数． 　　证明：①充分性：即已知m，n中至少有一个偶数，求证：m×n棋盘可被2×1骨牌覆盖．不失一般性，设m＝2k，则m×n＝2k×n＝k× 　　　 棋盘可被kn个2×1骨牌覆盖． 　　②必要性：即已知m×n棋盘可以被2×1骨牌覆盖．求证：m，n中至少有一个偶数．若m×n棋盘可被2×1骨牌覆盖，则必覆盖偶数个方格，即mn是个偶数，因此m、n中至少有一个是偶数． 　　例2 下图中的8×8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用31个2×1的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？ 　　分析 刚一想，31个2×1骨牌恰有62个小方格，棋盘去掉两个角后也是62个格，好像很有可能盖住．但只要简单一试，便发现不可能．仔细分析，发现如果把棋盘格黑、白相间染色后，2×1骨牌一次只能盖住一个黑格与一个白格．只要发现这个基本事实立即可以找到解答． 　　解：我们将残角棋盘黑、白相间染色（如图），62个格中有黑格 32个，白格 30个．另外，如果用2×1骨牌 31张恰能盖住这个残角棋盘，我们发现，每个骨牌必定盖住一个黑格，一个白格，31个骨牌将盖住31个黑格及31个白格．这与32个黑格数，30个白格数的事实相矛盾．所以，无论如何用这31张2×1的骨牌盖不住这个残角棋盘． 　　例3 在下图（1）、（2）、（3）、（4）四个图形中： 　 　　 　　　　 　　说明：排除图（1）与（2）的方法是很重要的．因为一个图形可以用这是“必要条件排除法”．但要注意，一个图形小方格数是3的倍数，也不表明的就是这种情况． 　　 　　 　　当3｜n时，设n＝3k， 　　则2×n＝2×3k＝k（2×3） 　　 　　 　　2×n＝3×x 　　则3｜2n，但（2，3）＝1， 　　∴3｜n． 　　 　　例5 一种游戏机的“方块”游戏中共有如下页图所示的七种图形，每种图形都由4个面积为1的小方格组成．现用7个这样的图形拼成一个7×4的长方形（可以重复使用某些图形）．那么，最多可以用上面七种图形中的几种？ 　　分析 用七个图形，共4×7＝28个方格，要是能拼成 4×7的棋盘， 这时采用了小“方块”中的两种．这样试下去，我们会发现，由七种方块中的6种可以拼成4×7棋盘格，如下图所示．但要将七种“方块”每个都只用一次，要拼成4×7棋盘，试几次会发现拼不出来．因此我们会想到，是不是不可能呢？下面我们证明这一点． 　　证明：用6种“方块”构成4×7棋盘已如上图所示． 　　下面我们证明不能用七种“方块”各一块构成4×7的长方形棋盘． 　　将长方形的28个小方格如右图黑、白相间进行染色，则黑、白格各为个白格1个黑格，而其余六种方块图形皆占据黑格、白格各2个．因此，7种方块图形占据的黑白格数必都是奇数，不会等于14． 　　综上所述，要拼成4×7的方格，最多能用上七种“方块”中的6种图形． 　　例6 由1×1、 2×2、3×3的小正方形拼成一个23×23的大正方形，在所有可能的拼法中，利用1×1的正方形最少个数是多少？试证明你的结论． 　　解：用1×1的正方形至少一个． 　　第一步：中心放一个1×1的正方形，剩下的4个11×12的矩形，是可以用6个2×2正方形和12个3×3正方形拼成的，如下图所示． 　　第二步：不用1×1而只用2×2与3×3的正方形是拼不成的．将23×23的大正方形的1，4，7，10，13，16，19，22各行染红色，其余各行染蓝色如下图．任意2×2或3×3正方形都将包含偶数个蓝色小格，但蓝格总数是23×15，是个奇数，矛盾．所以不用1×1的小正方形是拼不成23×23棋盘的． 　 　　综上所述，要拼成23×23棋盘，至少要用一个1×1的小正方形． 　　 　　当我们把“田”放入棋盘时，一定盖住两个小黑格及两个小白格． 　　盖住奇数个（3个，或1个）白格． 　　 骨牌共盖住：奇数＋2＝奇数个白格．这与8×8棋盘上共有32个白格的总数相矛盾． 　　 　　 　　 　　 　　4．求证4×4棋盘格切去左上角与右下角两个格后的残角棋盘，不能用7个1×2骨牌所覆盖． 　　5．请将如下图所示的6×6棋盘分成两块，使得两块的形状和大小都相同，并且每一块中都含有A、B、C、D、E五个字母．