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椭圆离心率求法椭圆离心率求法
离心率的五种求法
椭圆的离心率,双曲线的离心率,抛物线的离心率.
一、直接求出、,求解
已知圆锥曲线的标准方程或、易求时,可利用率心率公式来解决。
例1:已知双曲线()的一条准线与抛物线的准线重合,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
解:抛物线的准线是,即双曲线的右准线,则,解得,,,故选D
变式练习1:若椭圆经过原点,且焦点为、,则其离心率为( )
A. B. C. D.
解:由、知 ,∴,又∵椭圆过原点,∴,,∴,,所以离心率.故选C.
变式练习2:如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么双曲线的离心率为( )
A. B. C. D
解:由题设,,则,,因此选C
变式练习3:点P(-3,1)在椭圆()的左准线上,过点且方向为的光线,经直线反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为( )
A B C D
解:由题意知,入射光线为,关于的反射光线(对称关系)为,则解得,,则,故选A
二、构造、的齐次式,解出
根据题设条件,借助、、之间的关系,构造、的关系(特别是齐二次式),进而得到关于的一元方程,从而解得离心率。
例2:已知、是双曲线()的两焦点,以线段为边作正三角形,若边的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
解:如图,设的中点为,则的横坐标为,由焦半径公式,
即,得,解得
(舍去),故选D
变式练习1:设双曲线()的半焦距为,直线过,两点.已知原点到直线的距离为,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
解:由已知,直线的方程为,由点到直线的距离公式,得,
又, ∴,两边平方,得,整理得,
得或,又 ,∴,∴,∴,故选A
变式练习2:双曲线虚轴的一个端点为,两个焦点为、,,则双曲线的离心率为( )
A B C D
解:如图所示,不妨设,,,则
,又,
在中, 由余弦定理,得,
即,∴,
∵,∴,∴,∴,∴,故选B
三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解
例3:设椭圆的两个焦点分别为、,过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点,若为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是________。
解:
四、根据圆锥曲线的统一定义求解
例4:设椭圆()的右焦点为,右准线为,若过且垂直于轴的弦的长等于点到的距离,则椭圆的离心率是 .
解:如图所示,是过且垂直于轴的弦,∵于,∴为到准线的距离,根据椭圆的第二定义,
变式练习:在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为,则该椭圆的离心率为( )
A B C D
解:
五、构建关于的不等式,求的取值范围
例5:设,则二次曲线的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
另:由,,得,,
∴,∴
∵,∴,∴,∴,故选D
例6:如图,已知梯形中,,点分有向线段所成的比为,双曲线过、、三点,且以、为焦点.当时,求双曲线离心率的取值范围。
解:以的垂直平分线为轴,直线为轴,建立如图所示的直角坐标系,则轴.因为双曲线经过点、,且以、为焦点,由双曲线的对称性知、关于轴对称.依题意,记,,,其中为双曲线的半焦距,是梯形的高.
由定比分点坐标公式得,,设双曲线的方程为,则离心率,由点、在双曲线上,所以,将点的坐标代入双曲线方程得①
将点的坐标代入双曲线方程得②
再将①、②得,∴③
④
将③式代入④式,整理得,∴,由题设得:
,解得,所以双曲线的离心率的取值范围为
配套练习
1. 设双曲线()的离心率为,且它的一条准线与抛物线的准线重合,则此双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线的一条渐近线方程为,则双曲线的离心率为( )
A B C D
4.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为,焦点到相应准线
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