概率统计讲稿基础部.doc

随机事件与概率 随机事件 随机事件的概念 在一次实验中可能出现也可能不出现的事件称为随机事件 样本空间与事件 样本点. 样本空间 事件间的关系和运算 事件的包含与相等。如果事件A出现,一定导致事件B也出现。或 显然 事件的和(并)。两个事件A与B中至少有一个出现。 记作或 事件的积（交）。两个事件A与B同时发生。 记作或 事件的差。事件A出现而事件B不出现。 记作 互不相容事件。如果事件A与B不可能同时出现。 对立事件。事件A不出现，即事件“非A”。 完备事件组。如果n个事件是互不相容的，并且他们的和是必然事件。 例. 在产品质量的抽样检验中，每次抽取一个产品，记事件=“第n次取到正品”，n=1，2，3。用事件运算的关系式表示下列事件： 1．前两次都取到正品，第三次未取到正品； 2．三次都未取到正品； 3．三次中只有一次取到正品； 4．三次中至多有一次取到正品； 5．三次中至少有一次取到正品； 概率 事件的频率与概率 事件频率具有如下性质： 非负性 正则性 可加性 概率的定义 定义1 设实验E的样本空间为，对于实验E的每一个事件A，既对于样本空间的每一个子集A，都赋予一个实数，如果满足下面三条公理，称为事件A的概率 公理1 对于任何事件A，都有； 公理2 对于必然事件，； 公理3 对于任意可列个互不相容事件 有 概率的性质 不可能事件的概率等于0，既 任意有限个互不相容事件之和的概率，等于它们概率的和： 如果事件构成一个完备事件组，则有 特别地，对立事件的概率有 如果有 一般地： 对于任意两个事件A与B，有 例. 设事件A与B互不相容，且，，求。 古典概型 有限性 实验的所有基本事件总数有限 等可能性 每次实验中，各个基本事件出现的可能性都相同 例.将一枚均匀的硬币连续掷两次，计算正面只出现一次及正面至少出现一次的概率。 设事件A=“正面只出现一次”，B=“正面至少出现一次” 。该试验共有四个等可能的基本事件，即 有利于A, B 的基本事件分别为2个及3个，由古典概型公式，有 条件概率与独立性 条件概率 定义1.2 对于两个事件A与B ，如果,称 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 当时，条件概率就是无条件概率 古典概型中条件概率的计算 例. 10个产品中有7个正品，3个次品，按不放回抽样，抽取两个，如果已知第一个取到次品，计算第二次又取到次品的概率。 解 设事件 乘法法则 乘法法则 对于；两个事件A与B, 如果,则有 如果 , 则有 例.10个产品中有7个正品，3个次品，按不放回抽样，抽取两个产品，计算两次都取到次品的概率 解：设表示第i次取到次品， 由乘法公式，有 事件的独立性 定义1.3 如果两个事件A与B满足等式 称事件A与B是相互独立的，简称A与B独立。 推论 1 设A与B为两个事件，,则A与B独立的充分必要条件是 推论 2 设A与B为两个事件，则下列四对事件：A与B；与B；A与;中，只要由一个事件独立，其余三对也独立。 推论3 设两个事件A与B的 概率都大于0且小于1，则下面四个等式等价，即其中任何一个成立，另外三个也成立： 定义 1.4 两个事件A与B, 如果其中任何一个独立事件发生的概率不受另外一个事件发生与否的影响，则称事件A与B是相互独立的。 例. 甲.乙二人各投篮一次，设甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，求甲，乙二人至少有一人投中的概率 解 记 A=“甲投中”，B= “乙投中”， 定义1.5 设为n个事件，如果对于任何正整数以及，都有 则称事件为相互独立的。 定义 1.6 设为n个事件，如果它们中任何一个事件发生的概率都不受其余某一个或某几个事件发生与否的影响，则称事件是相互独立的。 定义 1.7 设为随机事件序列，如果它们中任何有限个事件都是相互独立的，则称该随机事件序列为相互独立的 。 例. 甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一个密码，设甲译出的概率为0.8，乙译出的概率为0.7，丙译出的 概率为0.6，求密码能 译出的概率。 解 记A=“甲译出密码”，B、C分别表示乙、丙译出密码，D=“密码被译出”。 全概率公式与贝叶斯公式 定理1.1 （全概率公式） 如果事