第16讲-三角形的概念W.doc

第16讲 三角形的概念 知识方法扫描 由三条不在同一直线上的首尾相连的三条线段组成的图形叫做三角形。 1．三角形三边之间的关系 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 2．三角形三角之间的关系 三角形的内角和为180o；三角形的一个外角等于它的两个不相邻的内角之和；三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角。 3．三角形中的主要线段 三角形中的主要线段有中线，角平分线和高。 经典例题解析 例1 （1996年 湖北省荆沙市初二数学竞赛试题） 等腰三角形腰上的中线把的周长分为12厘米和21厘米两部分，那么底边的长 为 厘米。 解 设△ABC中AB=AC，BM是AC边上的中线。设BC=x，AM=MC=y，则AB=2y。 依题意有如下两种情况： （1），即， 解得 ，这时有AB=AC=6，BC=19，因AB+AC=1219=BC, 此时AB，AC，BC三边不能构成三角形，故舍去这组解。 （2） ，即， 解得 ，这时有AB=AC=14，BC=5，此时AB，AC，BC三边能够构成三 角形。所以那么底边的长为5厘米。 （2003年河南省初二数学竞赛试题） 周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？ 解 设三角形三边长为a，b，c且abc, 则有 , 故 2ca+b+c=30, c15；又3ca+b+c=30, c10 即 10c15. 当c=14时，有5解：b=13,c=3; b=12,c=4; b=11,c=5; b=10,c=6, b=9,c=7. 当c=13时，有4解：b=12,c=5; b=11,c=6; b=10,c=7; b=9,c=8. 当c=12时，有2解：b=11, c=7; b=10, c=8. 当c=11时，有1解：b=10, c=9. 故周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有12个（1983年云南省初二数学竞赛试题） 如图，在△ABC中取一点P，使CP=CB，求证：AB＞AP。 延长CP交AB于Q，AB+CB=AQ+QB+CBAQ+CQ=AQ+PQ+CPAP+CP. 因CP=CB，故ABAP。 (1994年四川省联赛试题) 若不等边三角形ABC的两条高的长分别为4和12，且第三条高的长也为 整数，则这条高的长为( )． (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 解 设三角形ABC的a,b,c，三边所对应的高是ha, hb, hc. 且ha=4, hb=12, 则 S=aha=b hb =c hc 即 S=a·4=b·12=chc ∴ a=S, b=S, c=·2S ∵ a-bca+b, S -S ·2SS +S 解得3hc6, 又三角形ABC不等边三角形ha≠hc，∴hc=5，故选A. 评注 涉及到三角形的高的问题，常常与面积有关。 例5．（2001年“五羊杯”初中数学邀请赛试题） 如图一个五角星， ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= 解1 如下图，由三角形外角的性质，有∠1=∠B +∠D，∠2=∠C +∠E， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠1+∠2=180o。 解2 如下图，连结CD，显然有∠1+∠2=∠B+∠E（为什么？），于是 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠C+∠D+∠1+∠2=180o。 评注∠1+∠2=∠B+∠E是一个很重要的结论。（1987年武汉市初二数学竞赛试题） 已知:在△ABC中,三条内角平分线AD,BE,CF相交于I,IH⊥BC, 求证:∠BID= ∠HIC. 设∠CAB=2α，∠ABC=2β，∠BCA=2γ，则α+β+γ=90o， ∠BID = α+β，∠HIC=90o-γ= α+β. 所以∠BID =∠HIC。已知三角形的一边是另一边的两倍. 求证：它的最小边长在它的周长的与之间. 证：设△ABC的三边为a, b, c, 且a＝2c, 则b＞a－c＝c, 故c边是最短边. ∵a＋b＋c＞2c＋c＋c＝4c, ∴c＜(a＋b＋c) 又b＜a＋c, 故b＜3c, 从而a＋b＋c＜2c＋3c＋c＝6c, ∴c＞(a＋b＋c) （2006年北京市初二数学竞赛试题） 如图，在一个△ABC内部有m个点，在这些点之间及这些点与A、B、C三点之间连接一些线段，这些线段在三角形内部没有这m个点以外的公共点，并恰将△ABC分成的小区域全部都是小三角形，请你证明： (1)分成的小三角形区域的总个数必为奇数； (2)位于△ABC内部的所连接线段的条数是3的倍数． 分成的小三角形区域的总个数为k, 用两种方法来计算k个三角形的内角和Ｓ： 一方面，S=k·180°, 另一方面按“点”来计算有 ① 形