欧拉积分及其应用.doc

欧拉积分及其应用 摘 要: Beta函数与Gamma函数是数学分析中两个重要的积分，灵活应用这两个积分可以很好的解决数学计算中的一些问题，本文重点阐述了Beta函数、Gamma函数的性质和关关系，通过举一些典型的例子来说明他们的应用. 关键词: Gamma函数；Beta函数；含参量积分 Abstract: Beta function and Gamma function is a mathematical analysis of two important points, flexible application of these two points can solve some problems in mathematical calculations, this paper focuses on the Beta function, Gamma function, the nature and relationship, through the give some A typical example to illustrate their application. Key Words: The Gamma function; The Beta function; Contain the parameter integral 引言 欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域.欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理.欧拉(euler)积分是其重要贡献之一，它广义积分定义的特殊函数，在概率论与数理统计及数理方程等学科中经常用到，本文重点阐述Beta函数、Gamma函数的性质，揭示二者所具有的关系及在数学分析、概率统计等学科中的应用，从而使复杂的题目有了更简单易懂的解决方法，同时这也揭示了数学的不同学科之间的密切联系，在提高解题能力的同时，也加深对数学的理解和应用. 称为贝塔（Beta）函数，（或写作函数）. 称为格马（Gamma）函数，（或写作函数）. 贝塔函数与格马函数在应用中经常出现，它们统称为欧拉积分，前者是第一类欧拉积分，后者是第二类欧拉积分. 1. 函数及其相关性质 1.1 函数的定义域 = ，当时为瑕点，当时为瑕点，定义域为 任何，在内，一致收敛，故 函数在定义域内连续. 1.2 函数的性质 性质1.2.1 (对称性) . 作变换，==. 性质1.2.2 （递推公式） = ,， （1） ，， （2） ，. （3） 当时，有 = =+ = = = ， 移项整理即得（1）.公式（2）可由对称性及公式（1)推得，而公式（3）则可由公式（1），（2）推得. 性质1.2.3 （其他形式） 在应用上， 也常以如下形式出现 (1) 令，则有 =；,则有 ==； (3) 考察.令，则有 ==. 2. 函数及其相关性质 2.1 函数的定义域 ， 1、积分区间为无穷； 2、当时，为瑕点； 3、当时，收敛. 写函数为如下两积分之和： = ， 其中，. 当时，为正常积分；当时，为收敛的无界函数反常积分.对任何实数，都是收敛的，特别是时收敛. 所以，函数在时收敛. 2.2 函数的性质 性质2.2.1 对任意，且. 性质2.2.2 对任意成立. 证明 有分部积分法得： ==+ =. 性质2.2.3 是上的凸函数. 证明 只要证明对，=1，，有不等式 +. 事实上，由Holder不等式即得 == =， 性质得证. 出乎意料的是，函数的以上三条性质完全确定了函数.这就是说，任意定义在上的函数，如果具有上面三条性质，那么它一定是函数.这个意想不到的结果是由Bohr和Mollerup首先发现的. 性质2.2.4（图像） 设，即，应用性质2可得到 （1） 若为正整数，则（1）式可以写成 . （2） 对一切，和恒大于0，因此的图形位于轴上方，且是向下凸的.因为，所以在上存在唯一的极小点且.又在内严格减；在内严格增. 由于== （）及，故有. 由（2）式及在上严格增可推得 . 综上所述，函数的图像如下图部分所示. 性质2.2.5 （延拓） 改写递推公式为 . 当时，有意义，于是可应用它来定义左端函数在内的值，并且可推得这时. 用同样的方法，利用已在内有定义这一事实，由又可定义在内的值，而且这时.依此下去可把延拓到整个数轴（除以外），其图像如上图所示. 性质2.2.6