立体几何中的向量方法(理答案).docx

立体几何中的向量方法专项能力提升1.已知a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)，c＝ma＋nb＋(4，－4,1).若c与a及b都垂直，则m，n的值分别为(　　)A.－1,2B.1，－2C.1,2D.－1，－2解析　由已知得c＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)，故a·c＝3m＋n＋1＝0，b·c＝m＋5n－9＝0.解得2.已知平面ABC，点M是空间任意一点，点M满足条件＝＋＋，则直线AM(　　)A.与平面ABC平行B.是平面ABC的斜线C.是平面ABC的垂线D.在平面ABC内解析　由已知得M、A、B、C四点共面.所以AM在平面ABC内，选D.3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足＝λ的实数λ有________个.解析　建立如图的坐标系，设正方体的边长为2，则P(x，y,2)，O(1,1,0)，∴OP的中点坐标为，又知D1(0,0,2)，∴Q(x＋1，y＋1,0)，而Q在MN上，∴xQ＋yQ＝3，∴x＋y＝1，即点P坐标满足x＋y＝1.∴有2个符合题意的点P，即对应有2个λ.4.如图所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点.求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.证明　(1)如图建立空间直角坐标系Axyz，令AB＝AA1＝4，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4).取AB中点为N，连接CN，则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，∴＝(－2,4,0)，＝(－2,4,0)，∴＝，∴DE∥NC，又∵NC?平面ABC，DE?平面ABC.故DE∥平面ABC.(2)＝(－2,2，－4)，＝(2，－2，－2)，＝(2,2,0).·＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，·＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0.∴⊥，⊥，即B1F⊥EF，B1F⊥AF，又∵AF∩FE＝F，∴B1F⊥平面AEF.5.在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点.(1)求证：EF⊥CD；(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论.(1)证明　如图，以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a，则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E、P(0,0，a)、F.＝，＝(0，a,0).∵·＝0，∴⊥，即EF⊥CD.(2)解　设G(x,0，z)，则＝，若使GF⊥平面PCB，则由·＝·(a,0,0)＝a＝0，得x＝；由·＝·(0，－a，a)＝＋a＝0，得z＝0.∴G点坐标为，即G点为AD的中点.题型　解决探索性问题例3　(2012·福建)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点.(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由.思维启迪　利用向量法建立空间直角坐标系，将几何问题进行转化；对于存在性问题可通过计算下结论.(1)证明　以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，故＝(0,1,1)，＝，＝(a,0,1)，＝.∵·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B1E⊥AD1.(2)解　假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0).使得DP∥平面B1AE，此时＝(0，－1，z0).又设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z).∵n⊥平面B1AE，∴n⊥，n⊥，得取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝.要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，解得z0＝.又DP?平面B1AE，∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝.典例：(12分)(2012·湖南)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点.(1)证明：CD⊥平面PAE；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积.规范解答如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设PA＝h，则A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，P(0,0，h)