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第3讲　圆的方程 【2013年高考会这样考】 1．考查根据所给的条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程． 2．题型既有选择题、填空题，又有解答题．客观题突出小而巧，主要考查圆的方程；主观题往往在知识的交汇点处命题． 【复习指导】 1．本讲复习时，应熟练掌握圆的方程的各个要素，明确圆的标准方程，一般方程． 2．能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，结合圆的几何性质解决与圆有关的问题．　 基础梳理 1．圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆． 2．圆的标准方程 (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)表示圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程． (2)特别地，以原点为圆心，半径为r(r＞0)的圆的标准方程为x2＋y2＝r2. 3．圆的一般方程 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0可变形为2＋2＝.故有： (1)当D2＋E2－4F＞0时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； (2)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点； (3)当D2＋E2－4F＜0时，方程不表示任何图形． 4．P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系 (1)若(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，则点P在圆外； (2)若(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，则点P在圆上； (3)若(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，则点P在圆内． 一种方法 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组； (3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程． 两个防范 (1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个独立方程． (2)过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况． 三个性质 确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上； (3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． 双基自测 1．(人教A版教材习题改编)圆心为点(0,1)，半径为2的圆的标准方程为(　　)． A．(x－1)2＋y2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2 C．x2＋(y－1)2＝4 D．(x－1)2＋y2＝2 答案　C 2．(2011·四川)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)． A．(2,3) B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 解析　由x2＋y2－4x＋6y＝0得(x－2)2＋(y＋3)2＝13.故圆心坐标为(2，－3)． 答案　D 3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　)． A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1 C．a＞1或a＜－1 D．a＝±1 解析　因为点(1,1)在圆的内部， (1－a)2＋(1＋a)2＜4，－1＜a＜1. 答案　A 4．(2011·重庆)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)． A．5 B．10 C．15 D．20 解析　由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)、半径是，且点E(0,1)位于该圆内，故过点E(0,1)的最短弦长|BD|＝2＝2(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC|＝2，且ACBD，因此四边形ABCD的面积等于|AC|×|BD|＝×2×2＝10，选B. 答案　B 5．(2012·长春模拟)圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为________． 解析　设圆的方程为x2＋y2＝r2.则r＝＝. 圆的方程为：x2＋y2＝2. 答案　x2＋y2＝2　　考向一　求圆的方程 【例1】已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为(　　)． A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 [审题视点] 设圆心坐标，根据相切的条件列出等式求圆心及半径；也可以利用圆的几何特征求圆心及半径． 解析　法一　设出圆心坐标，根据该圆与两条直线都相切列方程即可． 设圆心坐标为(a，－a)，则＝，即|a|＝|a－2|，解得a＝1，故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝＝，故圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2. 法二　题目给出的圆的两条切线是平行线，故圆的直径就是这两条平行线之间的距离d＝＝2；圆心是直线x＋y＝0与这两条平行线交点的中点，直线x＋y＝0与直线x－y＝0的交