第4章 向量空间1,2,3,5.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 设 是 矩阵，如果 则齐次线性方程组 的基础解系存在， 且每个基础解系中含有 个解向量。 定理4.17 设 是 矩阵，如果 则齐次线性方程组 的任意 个线性无关 的解向量均可构成基础解系。 推论4.11 解： 所以只有零解，基础解系不存在。 例2 : 求下列齐次方程组 例4 设 , 是 的 两个不同的解向量, k 取任意实数, 则 Ax = 0 的通解是 例3 求四元方程组 的基础解系。 P27 2007.05 五 作业 设 ,证明 证 记 则由 说明 都是 的解 因此 移项 重要结论 推论3 且线性无关，则_______是AX=O的基础解系。 (2),(3) 则_______可为AX=O的基础解系。 (4) 练习 (1) (2) P25，2006.11七； P30，2008.11一（5） P22，2006.07一（3） P30，2008.11一（6） 例5 证明 设 , 首先证明 利用这一结论 证 重要结论 例6 求一个齐次方程组, 使它的基础解系为 记之为 AB=O ,这相当于要解矩阵方程, 习惯把未知 的 A 放在右边, 转置 ,只需解 然后再把这些解拼成 的列( A 的行)即可. 解 得基础解系 设所求的齐次方程组为 , 则 取 即可. 解 三、非齐次线性方程组解的结构 以下总假设 有解, 而其对应的齐次方程组 的基础解系为 这里 性质 (1) 设 都是(1)的解,则 是(2)的解. (2) 设 是(1)的解, 是(2)的解,则 仍是(1)的解. 设 是(1)的一个解(固定), 则对(1)的任一解 x 是 (2)的解,从而存在 使得 又形如(3)的向量( 任取)都是(1)的解. 由此得: (3) 注：非齐次方程组的解集不是空间。 定理4.18 设 是非齐次线性方程组 的解，则 解的全体 其中 表示A的零空间。如果 是 的一组基，则 任一解 可以表示为 例7 解 在对应的齐次方程中 取 得齐次方程组的基础解系 于是所有通解 即得方程组的一个解 例8 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知 是它的三个解向量, 且 求该方程组的通解. 解 取 , 则它就是解,从而也是基础解系. 基础解系所含向量个数 = 4 – 3 = 1 故非齐次方程组的通解为 例9 假设 是 的三个解向量，r(A)=2, 已知 求 的通解。 从而，通解为： P24 2006.11 一（3） P26 2007.05 一（2） P38 2011.11一（4） P23 2006.07 二（5）； P32 2009.05 二（5） 作业P112 例4.26P113 第3题 * * * * * * * * * * * * * * * * P95 1 4.5 向量空间 集合 对于加法及乘数两种运算封闭指 设 为 维向量的集合，如果集合 非空， 且集合 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称 集合 为向量空间． 定义 维向量的全体是一个向量空间,记作 只含零向量的集合是一个向量空间(称为零空间) 向量空间如果不是零空间必含有无穷多个向量 证明下列集合是向量空间 证 所以 构成了向量空间. 例4.5.1 证 例2 证明齐次方程组的解集 是一个向量空间. 以后称为齐次方程组的解空间. 例3 证明非齐次方程组的解集 不是向量空间. 证 设 , 而 S 对加法运算不封闭. 或 S 对数乘运算不封闭. 是向量空间. 例4 证 定义 设 是一向量组, 称 为由该向量组生成的(或张成的)向量空间.记为 特