第4章-区间估计0.ppt

区间估计的概念 问题：在实际工作中，由于总体中各观察对象之间存在着个体变异，且随机抽取的样本又只是总体中的一部分，因此计算的样本统计量，不一定恰好等于相应的总体参数； eg1: 从某地7岁男童中随机抽取110名，测得平均身高为119.95cm，该样本均数不一定等于该地7岁男童身高的总体均数。 eg2: 某县为血吸虫病流行区，从该县人群中随机抽取400人，测得的血吸虫感染人数为60人，感染率为15%，该样本率不 一定等于该地人群的总体感染率。 总体X的未知参数? 的估计量 是随机变量，无论这个估计量的性质多么好，它只能是未知参数的近似值，但近似程度如何？误差范围多大？可信程度又如何？这些问题是点估计无法回答的。 那么? 的真值在什么范围内呢？是否能通过样本寻求一个区间，并且给出此区间包含参数? 真值的可信程度．这就是总体未知参数的区间估计问题． 在区间估计理论中，被广泛接受的一种观点是置信区间，它是由艾曼（Neymann)于1934年提出的。 区间估计的思想 点估计总是有误差的，但没有衡量偏差程度的量， 区间估计则是按一定的可靠性程度对待估参数给出一个 区间范围。 引例 设某厂生产的灯泡使用寿命X~N（?，1002），现 随机抽取5只，测量其寿命如下：1455，1502，1370， 1610，1430，则该厂灯泡的平均使用寿命的点估计值为 可以认为该种灯泡的使用寿命在1473.4个单位时间左右， 但范围有多大呢？又有多大的可能性在这“左右”呢？ 如果要求有95%的把握判断?在1473.4左右，则由U统计 量可知 由 查表得 定义1 设总体X的分布函数 F(x; ?)，?为未知参数， X1, X2, …,Xn是取自总体的样本，对给定值? (0?1), 若存在统计量 和 满足 则称随机区间 为?的置信水平为1-? 的置信区间, 和 分别称为置信度为 的置信下限 与置信上限， 称为置信水平(置信度)． 一、置信区间的概念 这种估计? 的方法叫做区间估计. 评价置信区间好坏标准： (1)精度： 越小越好； (2)置信度： 越大越好. 置信区间的估计精度：置信区间的长度= ; ［注］ 置信度的(1-?)含义：若重复多次抽样, 得到样本X1,X2,…,Xn的多个样本值x1, x2,…, xn ，对应每个样本值都确定了一个置信区间 ，每个这样的区间要么包含了的真值? ，要么不包含真值?. 当抽样次数100次时，这些区间中包含真值的区间大约占 100 (1-?) %个，不包含的区间大约占 100 ? %. 当Ｘ是连续型随机变量时，对于给定的?，我们总是要求 (2)围绕 构造一个与待估参数有关? 的函数U, 且分布已知； (1)选取未知参数? 的某个较优估计量 ， 一般步骤： 寻求置信区间的基本思想：在点估计的基础上，构造合适的含样本及待估参数的函数U，且已知 U 的分布，再根据给定的置信度导出待估参数置信区间. 二、寻求置信区间的方法 (4)对上式作恒等变形，化为 (3)对给定的置信水平1-?，确定 ?1与 ?2，使 则 就是? 的置信水平为 1-? 的双侧置信区间. 对于给定的?(0?1),令 设总体X~N(?,?2),X1, X2, …,Xn是总体X的样本，求?,?2 的置信水平为(1??)的置信区间.　 单个正态总体的情况 ⑴ 均值?的置信区间 (a)? 2为已知时,因为 求得?的置信度水平为(1??)的置信区间: (?2为已知) ?/2 ?/2 或 X是?,的无偏估计,且 注：置信水平为(1??)的置信区间不唯一.如上例?=0.05,可证 置信区间长度越短表示估计的精度越高. 例1 某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X 可以认为服从正态分布，从某天的产品中随机抽取6个， 测得直径为（单位：cm） 14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1 （1）试求该天产品的平均直径EX的点估计； （2）若已知方差为0.06，试求该天平均直径EX的置信 区间：?=0.05；?=0.01。 解 （1）由矩法估计得EX的点估计值为 续解 （2）由题设知X~N（?，0.06） 构造U-统计量，得EX的置信区间为 当?=0.05时， 而 所以，EX的置信区间为（14.754，15.146） 当?=0.01时