第4讲 函数的性质.docx

第4讲 函数的性质一、单调性与最大（小）值 1.函数的单调性结论：①在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．②对于复合函数：同增异减 2.对钩函数分别在、上为增函数，分别在、上为减函数． 3.最大（小）值二、奇偶性 1.函数的奇偶性结论①若函数为奇函数，且在处有定义，则．若函数为偶函数，则；②奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．③在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数． ④奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.三、周期性 1.周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. 2.函数的周期性与对称性性质总结：①若，周期；②若（相反），周期；③若()（互倒），周期； ④若()（反倒），周期；⑤若，周期；⑥若，周期.题型一 函数单调性的判断例1　(1)判断函数f(x)＝(a0)在x∈(－1,1)上的单调性.利用定义法证明或判断函数单调性的步骤(1)取值:设x1,x2是定义区间内的任意两个值,且x1x2.(2)作差、变形:作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)),并通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断差的符号的方向变形.(3)定号:确定差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1))的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论.(4)判断:根据定义作出结论.跟踪训练1　(1)判断函数f(x)＝x＋ (a0)在(0，＋∞)上的单调性.(2)求函数y＝ 的单调区间.(3)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是 题型二　求函数的最值(值域)例2 (1)函数 的最小值为　.(2)函数 的值域为　.例3　(1)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是 题型三　函数奇偶性的判断例3.判断下列函数的奇偶性:①f(x)= ②f(x)=;题型四　函数的周期性及其应用例4.（1）设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+4)=f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2,则f(2017)= .（2）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ,且f(1)=3,则f(2017)=　.（3）已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则= .[来源:Z_xx_k.Com] 解题思路 1. 求函数的单调性或单调区间的方法(1)利用已知函数的单调性.(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间.(4)复合函数y＝f[g(x)]根据“同增异减”判断.2.比较周期性与对称性： 若()，则；（巧记：消去） 若，则的图像关于直线对称；（巧记：消去，相加除2） 若，则的图像关于点对称；（巧记：消去，相加除2） 若，则的图像关于点对称.（巧记：消去，相加除2，除2）同学们可以按以下技巧去记忆若前系数相同周期，如①（） 相反对称，若前系数相同轴对称，如②（关于轴对称） 若前系数相反中心对称，如③（关于中心对称）周期与对称的关系：①若的图像有两条对称轴和()，则为周期函数，为一个周期.（告知周期和其中一条对称轴，可以写出其他相邻的对称轴.）②若的图像有两个对称中心和 ()，则为周期函数，为一个周期.（告知周期和其中一个对称中心，可以写出其他相邻的对称中心.）③若的图像有一条对称轴和一个对称中心 ()，则为周期函数，为一个周期.第4讲 函数的性质强化训练?一、选择题1．在区间上为增函数的是（　? ） A． B． C． D．2．函数是单调函数时，的取值范围（　） A． B． C ． D． 3．如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有　（　? ） A．最大值　　　?B．最小值 　 C ．没有最大值　　 D． 没有最小值4．函数在区间是增函数，则的递增区间是（　? ）A． B． C． D．5．定义在R上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则（　 ） A． B． C． D．6．已知在实数集上是减函数，若，则下列正确的是（　? ） A． B． 　C． D．二、填空题.7．函数在R上为奇函数，且，则当， .8．函数，单调递减区间为 ，最大值和最小值的情况为 .三、解答题9．（12分）已知，求函数得单调递减区间.??10．（12分）已知，，