泰勒公式的应用.doc

泰勒公式及其应用 摘要 文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在最优化理论领域的应用，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用，并用简单的算例加以说明。 关键词：泰勒公式，最优化理论，应用 一、泰勒公式 1.1 一元泰勒公式 若函数在含有的开区间内有直到阶的导数，则当函数在此区间内时，可展开为一个关于的多项式和一个余项的和： 其中 在和之间的一个数，该余项为拉格朗日余项。 1.1.1 泰勒公式的推导过程 我们知道，在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式： 来近似表达函数； 设多项式满足 因此可以得出.显然，，所以；，所以；，所以，所以有 1.1.2 泰勒公式余项的证明 我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项（拉格朗日余项）： 设 于是有 所以有 根据柯西中值定理可得： 是在和之间的一个数； 对上式再次使用柯西中值定理，可得： 是在和之间的一个数； 连续使用柯西中值定理次后得到： 这里是介于和之间的一个数。 由于，是一个常数，故，于是得到： ，综上可得，余项： 介于和之间 此余项又称为拉格朗日余项。 到此为止，我们知道了泰勒公式的一般形式可以表示为： 其中为泰勒公式的余项，它可以有一下几种形式： (1)佩亚诺（Peano）余项 (2)施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项 ,介于和之间 (3)拉格朗日(Lagrange)余项 介于和之间 (4)柯西(Cauchy)余项 介于和之间 (5)积分余项 泰勒公式的特殊形式，当取的时候，此时泰勒公式为： 为相应的余项，该式叫做泰勒公式的麦克劳林展开，也叫做麦克劳林公式； 麦克劳林公式主要应用在一些比较特殊的函数，如三角函数，对数函数等。如：对或的麦克劳林展开进行求值计算；欧拉公式 的证明与应用等等。 运用麦克劳林展开可以得到一些常用的泰勒展开式： . . . . 1.2 多元泰勒公式 除了上面的一元泰勒公式外，多元泰勒公式的应用也非常的广泛，特别是在微分方程数值解和最优化上面，有着很大的作用。 1.2.1 二元泰勒展开 引人记号：，，则二元函数在处的泰勒展开为： 是二元泰勒公式的余项。 由于二元泰勒展开比较复杂，所以在一般的应用之中，只作二阶泰勒展开。 1.2.2 二元泰勒展开的余项 与一元泰勒公式类似，二元泰勒公式的余项分别有： (1)佩亚诺（Peano）余项 (2)拉格朗日(Lagrange)余项 ()是和线段上的一点 1.2.3 多元函数泰勒展开 (1)多元函数一阶泰勒展开 多元函数，则在的一阶泰勒展开为： 或对于任意的及任意的，有： (2)在的二阶泰勒展开式 或对于任意的及任意的，有 多元泰勒公式主要应用在微分方程数值解和最优化上面。 泰勒公式在最优理论中的应用 目标函数泰勒表达式的展开，往往将原目标函数在所讨论的点附近展开成泰勒多项式，用来解答原函数。目标函数的方向导数和梯度，考察函数与自变量的关系，即函数相对于自变量的变化率，包括沿某一指定方向的变化率和最大变化率，所以就要用到方向导数和梯度。无约束目标函数的极值条件，无约束优化问题一般归结为求目标函数的极大值极小值问题，一般先求出若干极值点，再通过比较来确定全局最优点。目标函数凸集与凸函数、凹函数，由函数极值条件所确定极小点，是指函数f(x)在点附近的一切x均满足不等式f(x) f()，由函数极值条件所确定的极小值只是反映函数在附近的局部性质。优化设计问题中目标函数的局部极小点并不一定就是全局极小点，只有在函数具备某种性质时，二者才能等同。目标函数的约束极值优化问题，约束最优点不仅与目标函数本身的性质有关，而且还与约束函数的性质有关。在存在约束的条件下，为了要满足约束条件的限制，其最优点不一定是目标函数的自然极值点。 最优化设计的数值计算方法——迭代法及其收敛性，在机械优化设计的实际问题中，采用解析法求解很困难，在实际应用中，则广泛采用数值方法来直接求解。数值方法中常用的是迭代法，这种方法具有简单的迭代格式，适用于计算机反复运算，通常得到的最优解是一个可满足精度要求的近似解。 2.1 泰勒公式在数值最优化理论证明中的应用 定理2.1(无约束问题解的一阶必要条件) 设连续可微，是无约束问题的一个局部最优解，