浅谈圆的辅助线作法.doc

浅谈圆的辅助线作法 摘要：数学教学的重要目的在于培养学生的数学思维能力，而创造性是数学思维的最根本.最核心的智力品质。在初中平面几何的教学中，要不断地利用教材特征，挖掘生活素材，适时地培养学生的创造性思维能力。下面以怎样作圆的辅助线的探索与归纳予以说明。 关键词：圆 半径 直径 弦 弦心距 在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。下面以几道题目为例加以说明。 1.有弦，可作弦心距 在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。 如图1, ⊙O的弦AB、CD相交于点P， 且AC=BD。求证：PO平分∠APD。 分析1：由等弦AC=BD可得出等弧 = 进一步得出 = ，从而可证等弦AB=CD，由同圆中 等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE⊥AB，OF⊥CD，易证△OPE≌△OPF，得出PO平分∠APD。 证法1：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F AC=BD = = = = = AB=CD = OE=OF ∠OEP=∠OFP=90° = △OPE≌△OPF 0OP=OP =∠OPE=∠OPF = PO平分∠APD 分析2：如图1-1，欲证PO平分∠APD，即证 ∠OPA=∠OPD，可把∠OPA与∠OPD构造在两个 三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线 即半径OA，OD，因此易证△ACP≌△DBP，得AP=DP，从而易证△OPA≌△OPD。 证法2：连结OA，OD。 ∠CAP=∠BDP ∠APC=∠DPB =△ACP≌△DBP AC=BD =AP=DP OA=OD =△OPA≌△OPD =∠OPA=∠OPD =PO平分∠APD OP=OP 2.有直径，可作直径上的圆周角 对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。 例2 如图2，在△ABC中，AB=AC， 以AB为直径作⊙O交BC于点D ，过D 作⊙O的切线DM交AC于M。求证 DM⊥AC。 分析：由AB是直径，很自然想到其所 对的圆周角是直角。于是可连结AD，得∠ADB=Rt∠,又由等腰三角形性质可得∠1=∠2，再由弦切角的性质可得∠ADM=∠B，故易证∠AMD=∠ADB=90°，从而DM⊥AC。 证明 连结AD。 AB为⊙O的直径 =∠ADB=Rt∠ AB=AC DM切⊙O于D = ∠ADM=∠B = ∠1+∠B=∠2+∠ADM =∠AMD=∠ADB= Rt∠ = DM⊥AC 说明，由直径及等腰三角形想到作直径上的圆周角。 3. 当圆中有切线常连结过切点的半径或过切点的弦 例3 如图3,AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，DC切⊙O于C点。求∠A的度数。 分析：由过切点的半径垂直于切线， 于是可作辅助线即半径OC，得Rt△， 再由解直角三角形可得∠COB的度数， 从而可求∠A的度数。 解：连结OC。 DC切⊙O于C =∠OCD=90° OC=OB=BD = ∠A=1/2∠COB=30° 说明，由过切点的半径垂直于切线想到连结半径。 例4 如图4，已知△ABC中，∠1=∠2， 圆O过A、D两点，且与BC切于D点。 求证 EF//BC。 分析：欲证EF//BC，可找同位角或内错角 是否相等，显然同位角相等不易证，于是可连结DE，得一对内错角∠BDE与∠DEF，由圆的性质可知这两个角分别等于∠1和∠2，故易证EF//BC。 证明 连结DE。 BC切⊙O于D =∠BDE= ∠1 ∠2= ∠DEF =∠BDE= ∠DEF =EF//BC ∠1= ∠2 说明，由有切线且在同圆中等弧所对的圆周角相等想到连结弦。 4.当两圆相切，可作公切线或连心线 例5 已知：如图5，⊙O1与⊙O2外切 于点P，过P点作两条直线分别交⊙O1与 ⊙O2于点A、B、C、D。求证 PB?PC=PA?PD。 分析：欲证PB?PC=PA?PD，即证PA∶PB=PC∶PD， 由此可作辅助线AC、BD，并证AC//DB，要证平行，需证一对内错角相等，如∠C=∠D，然后考虑到这两个角分别与弦切角有关，进而再作辅助线即两圆公切线MN，从而问题迎刃而解。 证明 连结AC、BD，过P点作两圆的内公切线MN =∠A