复习：曲顶柱体的体积.ppt

解 解 解 解 * Yunnan University §1. 二重积分的计算 复习：曲顶柱体的体积 求曲顶柱体体积步骤如下： ⑴ 分割：将矩形 任意分为 n 块可求面积的小块 其面积仍记为 。相应地将曲顶柱体分割 成 n 个小曲顶柱体，分别记为 ⑵ 近似代替：在每一小块上任意取一点 则小曲 顶柱体的体积 可用直柱体的体积近似代替，即 ⑶ 求和：把 n 个小曲顶柱体的体积相加，便得到所求曲顶柱体体积的近似值 取极限，如果该极限存在，那末此极限值就定义为曲顶柱体 的体积。这个和式的极限正好就是上一章引进的二重积分， 故所求曲顶柱体的体积，等于相应的二重积分的值： ⑷ 取极限：记 在和式中令 由于此曲顶柱体的底面是一矩形，所以此曲顶柱体的体积还可以用另一种方法来计算。 先复习定积分应用中的一个结果：设空间立体位于平面 与平面 之间，用与 轴垂直的平面截立 体，截得截面的截面面积为 ，则此立体的体积为 化二重积分为二次积分 作与 轴垂直的平 面，设截得曲顶柱 体截面的面积为 立体位于平面 与平面 之间， 则曲顶柱体体积为 而 就是平面 上， 由曲线 与直线 所围成的曲边梯形的面积，所以 从而 因此 类似地，也可以用与 轴垂直的平面来截曲顶柱体，同样可得 从上面的分析，可以得到下列结果： 定理1 设 在矩形 上可积， 含参变量积分 存在，则 设 在矩形 上连续，则 我们经常使用的是连续函数，对连续函数有下列结果： 定理2 设 在矩形 上可积， 含参变量积分 存在，则 类似地可以给出先对 后对 积分的结果： 前面讨论了矩形区域上的二重积分的计算方法，下面考虑一般区域上二重积分的计算。 第一种情形： 积分区域 D 由两条曲线 及两条直线 围成，即 这种区域的特点是：与 轴垂直的直线与区域的边界至多有两个交点，或者有部分边界是平行于 y 轴的直线段。 根据积分区域的特点， 分三种情况讨论。 作包含此积分区域的矩形 令 于是 这时二重积分可化为先对 后对 的二次积分。 这时二重积分可化为先对 后对 的二次积分。 这种区域的特点是：与 轴垂直的直线与区域的边界至多有两个交点，或者有部分边界是平行于 x 轴的直线段。 第三种情形：一般情形，这时可用平行于 轴与平行于 轴的直线将积分区域分成上述两种情形求解。 X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图， 在分割后的三个区域上分别使用积分公式 则必须分割. 解 积分区域如图 解 积分区域如图 解 原式 解 解 解 解 曲面围成的立体如图. 解 设这两个直交圆柱面的方程为： 由图形的对称性 二、用极坐标计算二重积分 二重积分化为二次积分的公式（１） 区域特征如图 区域特征如图 二重积分化为二次积分的公式（２） 区域特征如图 极坐标系下区域的面积 二重积分化为二次积分的公式（３） 区域特征如图 解 * Yunnan University §1. 二重积分的计算 * *