狼兔问题的数学建模狼兔问题的数学建模.doc

狼追兔子的问题 1.1 摘要： 数学建模可以使抽象的问题用数学符号和语言清楚的表达出来。针对此题是高阶常微分方程问题。此例问题虽然问法多样，但解法基本一致，这道题狼和兔子在运动过程中属微分方程模型与一阶常微分方程。 狼追兔子问题来源很久，早在几百年前就有人在研究他，由于数学的发展水平不是很高和软件的局限，所以没有研究透彻。如今随着数学学科的发展和应用软件的飞速发展，对于这个的研究已进入新阶段。 由于狼要盯着兔子追，所以狼行走的是一条曲线，且在同一时刻，曲线上狼的位置 与兔子的位置的连线为曲线上该点处的切线。建立二者的运动微分方程，计算它们的运动轨迹，用软件MATLAB求解微分方程模型。计算出兔子是否安全回到自己的巢穴。 1.1.1 问题的来源及意义： (一) 问题重述与分析: 现有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处。假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。问题是兔子能否安全回到巢穴？ （二）题起源于导弹跟踪问题，与狼追兔子问题在解决方法上是大致一样的。 导弹跟踪的研究对于再军事上有很重要的意义。将导弹跟踪问题能简化为狼追兔子问题，都是高阶常微分方程模型，要涉及常微分方程，学会在实际问题中运用数学方法建模和求解。 问题的分析： 饿狼追兔问题一阶微分方程初值问题数值解。 兔子 它的洞在距离它现在吃草处正北方的60米处,在兔子的正东面100米处有一头饿狼正潜伏着观察兔子多时了 兔子发现了狼的存在.兔子拼命的沿直线向洞逃跑,兔子知道不赶快进洞命休已,狼和兔子同时启动并且死死盯着兔子扑去.兔子跑的虽然快,但狼的速度是兔子速度的2倍.假如兔子和狼都匀速运动. 为了研究狼是否能够追上兔子，可以先考虑求出狼追兔子形成的追击曲线，然后根据曲线来确定狼是否能够追上兔子。 1.1.3 模型假设： 狼在追击过程中始终朝向兔子； 狼追击兔子的轨迹看作是一条光滑的曲线，即将动点P的轨迹看作一条曲线，曲线方程表示为。 1.1.4 模型建立: （一）问题分析：1. 以t＝0时，兔子的位置作为直角坐标原点，兔子朝向狼的方向为x轴正向；则显然有兔子位置的横坐标。 2. 对狼来说，当x＝100，y＝0，即 在t＝0刚开始追击时，狼的奔跑方向朝向兔子，此时即x轴负方向， 则有 图1 兔子与狼的运动轨迹 （二） 建立模型： 1变量说明 ：兔子的速度（单位：码/秒） ：狼与兔子速度的倍数； ：狼的速度（单位：码/秒），显然有 ：狼追击兔子的时刻（t=0时，表示狼开始追兔子的时刻） ：在时刻t，兔子跑过的路程， ：在时刻t，狼跑过的路程， 1、追击方向的讨论 由于狼始终朝向兔子，则在狼所在位置P点过狼的轨迹处的切线方向在距y轴上的截为。 设切线上的动点坐标为（X，Y），则切线方程为 ……………………………………………………（1） 在（1）中，令X＝0，则截距。 此时。 则此时截距等于兔子所跑过的路程，即： ， 从而可得 ………………………………………………………………….（2） 2、 狼与兔子速度关系的建模 在t时刻，兔子跑过的路程为 （3） 由于狼的速度是兔子的r倍，则狼跑的路程为 …………………… （4） 狼跑过的路程可以用对弧长的曲线积分知识得到，如下。 …………….. （5） 联立（2）、（4）、（5）得 …………….. （6） 对（6）两边求对x的导数，化简得 ………………………………….（7） 微分方程（7）式的初始条件有： 3、 是否追上的判断 要判定狼是否追上兔子，可以通过（7）式判定。 对（7）式， 当x＝0，如果计算求解得到，则视为没有追上； 当x＝0，如果计算求解得到，则视为兔子被追上； 模型求解： 运用Matlab求解： 由微分方程得到其Matlab函数 function yy=odefunlt(x,y) %以狼在追击过程中的横坐标为自变量 yy(1,1)=y(2); yy(2,1)=sqrt(1+y(2).^2)./(2.*x); 主程序： tspan=100:-0.1:0.1; y0=[0 0]; [T,Y] = ode45(odefunlt,tspan,y0); n=size(Y,1); disp(狼的坐标(x=0.1)) disp(Y(n,1)) 1.1.5 模型结果与分析： 运行结果： 狼的坐标(x=0.1) 62.