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《理论力学》作业解答 1-3 已知曲柄, 以匀角速度绕定点O转动,此曲柄借连杆AB使滑动B沿直线运动.设,,.求连杆上C点的轨道方程及速度. 解: 设C点的坐标为,则 联立上面三式消去得 整理得轨道方程 设C点的速度为,即 考虑A点的速度 得 所以 1-4 细杆OL绕O点以匀角速度转动,并推动小环C在固定的钢丝AB上滑动,图中的为一已知常数.试求小环的速度及加速度 解: 小环C的位置由坐标确定 解法二: 设为小环相对于AB的速度, 为小环相对于OL的速度, 为小环相绕O点转动的速度,则 又设OL从竖直位置转过了角,则 , 所以, 小环相对于AB的速度为,方向沿AB向右. 1-10 一质点沿着抛物线运动.其切向加速度的量值为法向加速度量值的倍.如此质点从正焦玄()的一端以速度出发,试求其达到正焦玄另一端时的速率. 解: 设条件为 , , 上面三式联立得 两边积分 , 由可得 在正焦玄两端点和处, ,.可看出,两点处抛物线得切线斜率互为倒数,即,代入得 1-15 当一轮船在雨中航行时,它的雨蓬遮住篷的垂直投影后的甲板,蓬高.但当轮船停航时,甲板上干湿两部分的分界线却在蓬前,如果雨点的速率为,求轮船的速率. 解: 设相对于岸的速度为,雨相对于岸的速度为,雨相对于船的速度为则 速度三角形与三角形ABC相似,得 所以 方程的解 解: 作变换,原方程变为 设,,,则 实根 两个虚根: , 对于该题,只取实根. 1-38 已知作用在质点上的力为,, 其中都是常数,问这些应满足什么条件才有势能存在?如果这些条件满足,试求其势能. 解: 由得: 1-39 一质点受一与距离3/2次方成反比得引力作用在一条直线上运动,试证该质点自无穷远到达时的速度和自静止出发到达时的速率相同. 解: 依题意有 ,两边积分 , 再积分, 可知 1-43 如果质点受有心力作用而作双纽线的运动时，则 试证明之。 解：比耐公式 而代入得 1-44 质点所受的有心力如果为 式中，及都是常数，并且，则其轨道方程可写成。试证明之。式中，，（A为积分常数）。 解：比耐公式将F代入得 ，式中 其解为 式中， 将基准线转动一角度，可使得 2-2 如自半径为为的球上，用一与球心相距为的平面，切出一球形帽，求此球形帽的质心。 解：方法一 球形帽可看作由许多圆薄片沿Z轴叠成，其质心坐标 方法二 取任一垂直于OZ轴的两平面来截球冠，截得一微圆球台近似地等于圆柱。 2-3 重为的人，手里拿着一个重为的物体。此人用与地平线成角的速度向前跳去。当他达到最高点时，将物体以相对速度水平向后抛出。问：由于物体的抛出，跳的距离增加了多少？ 解：选人与重物组成一个系统，此系统在水平方向无外力作用，水平方向动量应守恒。人在抛出重物以前，水平速度为，在最高点抛出重物之后，其水平速度变为，则 人抛出重物后，做以为初速的平抛运动，比不抛重物落地点要远，增加的距离 两式联立得 讨论： 若抛出物体时速度是相对人后来的速度即，则上面第一个方程变为 结果是 一个例子：人重60公斤，物重2公斤，起跳速度，抛物速度，则 2-13 长为的均匀细链条伸直地平放在水平光滑桌面上，其方向与桌边沿垂直，此时链条的一半从桌上下垂。起始时，整个链条是静止的。试用两种不同的方法，求此链条的末端滑到桌子的边沿时，链条的速度。 解：【方法一】 设链条的线密度为，则时刻下落的链条质量为，此时链条所受的重力为，根据牛顿第二定律有 作变换代入上式 两边积分， 【方法二】 设链条的线密度为，当链条往下移，重力做的功为 ， 2—16 雨滴下落时，其质量的增加率与雨滴的表面积成正比例，求雨滴速度与时间的关系。 解：变质量动力学方程 设水蒸气凝结在雨滴上之前在空气中的速度，代入上式得 设雨滴半径的增长率为，，式中为时雨滴的半径，雨滴的质量 ，式中为密度 其解 设时，的 5.1 半径为的光滑半球形碗，固定在水平面上，一均质棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端则在碗外，在碗内的长度为，试证棒的全长为。 解：如图示，主动力，由虚功原理得 而 讨论：对直角坐标，由虚功原理有 好像不能选做广义坐标。 实际上，若选做广义坐标，则广义力不是，而是 平衡条件是而不是 本题中，平衡方程是奇点方程，即，解之得 广义坐标的定义域A，的定义域B，平衡位置在A内，但不再B内，即平衡方程是奇点方程。 P359【例题5.3】轴为竖直而顶点在下的抛物线形金属丝，以匀角速度绕轴转动。一质量为的小环，套在此