理论力学综合题目理论力学综合题目.doc

186 综合问题习题 综-1 滑块M 的质量为m，在半径为R 的光滑圆周上无摩擦地滑动。此圆周在铅直面 内，如图综-1a 所示。滑块M 上系有1 刚度系数为k 的弹性绳MOA，此绳穿过光滑的固定 环O，并固结在点A。已知当滑块在点O 时线的张力为零。开始时滑块在点B，处于不稳定 的平衡状态；当它受到微小振动时，即沿圆周滑下。求下滑速度v 与? 角的关系和圆环的约 束力。 M O′ O a T ? mg F v N F (a) (b) 图综-1 解 滑块M 在下降至任意位置时的运动及受力分析如图综-1b 所示。滑块M 在下降过 程中v 与? 的关系可由动能定理确定： 2 [ 2 2 ] 2 2 (2 ) (2 sin ) 1 2 mg × 2Rcos ? + 1 k R ? R ? = mv -0 2cos (1 ) mg v = ? gR + kR （1） 滑块M 的法向运动微分方程为 2kRsin? cos(90° ?? ) + mg cos(180° ? 2? ) R F mv 2 N ? = 式（1）代入上式，化简得 2? ? 2? N F = 2kRsin ?mg cos2 ? 4(mg + kR)cos 综-2 如图综-2a 所示1 撞击试验机，主要部分为1 质量为m = 20 kg 的钢铸物，固定在 杆上，杆重和轴承摩擦均忽略不计。钢铸物的中心到铰链O 的距离为l = 1 m，钢铸物由最 高位置A 无初速地落下。求轴承约束力与杆的位置? 之间的关系。并讨论? 等于多少时杆 受力为最大或最小。 O A B mg t F n F t a v n a ? (a) (b) 图综-2 解 钢铸物下降至? 角位置时运动和受力分析如图综-2b 所示。轴承约束力不做功，做 功力为重力mg，是有势力，故机械能守恒，设O 位置为零势能位置，则 2 2 mgl = mgl cos? + 1 mv 即 v2 = 2gl(1? cos? ) （1） 187 式（1）两边对时间t 求导，得 2 = 2 sin? ?? t va gl ? , sin? t v = l a = g （2） 法向： cos ( ) 2 n 2 n l a v l F + mg ? = m v = 式（1）代入上式，得 (2 3cos ) n F = mg ? ? （3） 切向： t t F +mg sin? = ma 式（2）代入上式得 0 t F = 由式（3），当 ? =π时 Fn = Fmax = 5 mg =（5×20×9.8）N = 980 N 当48 11 3 ? = arc cos 2 = ° ′ 时， Fn = Fmin = 0 讨论：? = 0时，F = ?mg n 只表示杆受压力，一般讨论最大、最小应以绝对值考虑。 综-3 1 小球质量为m，用不可伸长的线拉住，在光滑的水平面上运动，如图综-3a 所 示。线的另1 端穿过1 孔以等速v 向下拉动。设开始时球与孔间的距离为R，孔与球间的线 段是直的，而球在初瞬时速度v0 垂直于此线段。求小球的运动方程和线的张力F（提示： 解题时宜采有极坐标） ? F v v F ? v ρ v ρ M O (a) (b) 图综-3 解 小球在铅垂方向受合力为0，在水平面内受拉力F，受力和速度分析如图综-3b 所 示。由于作用于小球的力对小孔O（轴Oz）之矩为零，故小球在运动过程中对点O（轴Oz） 的动量矩守恒，即 ρ ? mv R = mv ? 0 0 v R v ρ ? = 在极坐标下， v t v = = ? d dρ ρ 积分，得 ρ = R ? vt 故小球在任意瞬时绕小孔O 转动的角速度 2 0 (R vt) v v R ? = = ρ ω ? 即 2 0 d ( ) d R vt v R t ? = = ? ω 188 两边积分得 R vt v t t R vt t v R ? = ? = ∫ 0 2 0 d 0 ( ) ? 故小球的运动方程 ρ = R - vt R vt v t ? ? = 0 线的张力 3 2 2 0 2 (R vt) mv mv R F ma m ? = = = = ρ ρ ? ρ 综-4 正方形均质板的质量为40 kg，在铅垂平面内以3 根软绳拉住，板的边长b = 100 mm，如图综-4a 所示。求：（1）当软绳FG 剪断后，木板开始运动的加速度以及AD 和BE 两绳的张力；（2）当AD 和BE 两绳位于铅垂位置时，板中心C 的加速度和两绳的张力。 mg 60° 60° 60° B A AD F BE F n C a C mg C A B AD F BE F C v C a (a) (b) (c) 图综-4 解 （1）对绳FG 刚剪断瞬时的均质板进行运动和受力分析。板在